北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 二次型 8.2 二次型的标准形

第8章二次型 庄81三次型及其矩阵表示 王.3惯性定理和规范形 庄·84实二次型的正定性 85二次曲面的分类 ●总结习题课 上页

第8章 二次型 8.1 二次型及其矩阵表示 8.2 二次型的标准形 8.3 惯性定理和规范形 8.4 实二次型的正定性 8.5 二次曲面的分类 总结 习题课

只含有平方项的二次型 k1y2+k2y2+…+k n.n 称为二次型的标准形(或法式) 例如 f(,x2,x3)=2x1+4x2+5x3-4x,-x, f(x1,x2x3)=x1x2+x1x3+x2 都为二次型 f(x1,x2,x)=x2+4x2+4x3 为二次型的标准形 上页

只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形 设 xI=CuVi+ Cuy2t.+cnn, x2=C21y,+c22y2t'.+ C2nyn, =Cn11+cn2y2+…+Cmyn 记C=(c则上述可逆线性变换可记作 x=C 上页

       = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy

说明 1.二次型经可逆变换x=O后,其秩不变,但∫ 的矩阵由4变为B=CTAC; 2.要使二次型经可逆变换x=C变成标准形, 就是要使 y ClACy=kiyi +k2y2+.+kny kI VI =(y1,y2,,yn k2 J k八y 也就是要使C′AC成为对角矩阵. 上页

说明 2 2 2 2 2 1 1 n n T T y C ACy = k y + k y + + k y 就是要使 2. 要使二次型f经可逆变换 x = Cy变成标准形, ( , , , ) , 2 1 2 1 1 2                             = y y y k k k y y y n n n    也就是要使C AC成为对角矩阵. T ; 1 , , A B C AC . x Cy f T = = 的矩阵由 变为 二次型经可逆变换 后 其秩不变 但

由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 生使P!P=A即PBP=A把此结论应用于二次 型,有 定理2任给二次型∫=∑anxx, n=an总有 i,j=1 庄正变换x=乃使/化为标准形 ∫=λ1y2+y2+…+nyn, 生其中,,…,是的矩阵4=(q)特征值 上页

型 有 使 即 把此结论应用于二次 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 , , . , , 1 =  =  − P AP P AP A P T ( ) 正交变换 使 化为标准形 定 理 任给二次型 总 有 x Py f f a x x aij a ji n i j ij i j , 2 , , 1 = =  = = , 2 2 2 2 2 1 1 n n f =  y +  y ++  y , , , ( ) . 其中1 2   n是 f 的矩阵A = aij 的特征值

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 c1.将二次型表成矩阵形式/=x74x求出 2求出A的所有特征值λ,2,…,n; 3求出对应于特征值的特征向量1,2…,n; 4将特征向量51,.2,…,正交化,单位化得 71,m2,…,n,记C=(m 1572,9n 5作正交变换x=O,则得f标准形 f=A1y+…+nyn 上页

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1. f x Ax, A; 将二次型表成矩阵形式 = T 求出 2. , , , ; 求出A的所有特征值1 2   n 3. , , , ; 求出对应于特征值的特征向量 1  2   n , , , , ( , , , ); 4. , , , , , 1 2 1 2 1 2 n n n    C          记 = 将特征向量 正交化 单位化 得 . 5. , 2 2 1 1 n n f y y x Cy f =  + +  =  作正交变换 则得 的标准形

例2将二次型 f=17x2+14x2+14x3-4x1x2-4x1x3-8x2x3 通过正交变换x=P,化成标准形 解1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值 17-2-2 A=-214 2-414 17-4-2-2 A-BE=-214--4+(-18)(2-9) 2 -414-见 上页

解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值           − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A           − − − − − − − − − − =     2 4 14 2 14 4 17 2 2 A E ( 18) ( 9) 2 =  −  − , . 17 14 14 4 4 8 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 通过正交变换 化成标准形 将二次型 x Py f x x x x x x x x x = = + + − − − 例2

王从而得特征值1=9,2=3=18 2.求特征向量 将1=9代入(4-E)x=0得基础解系 王“51=(12 王将42==18代入(4一B)x=0,得基础解系 52=(-2,1,0),3=(-2,0,1) 3.将特征向量正交化 工工工 取a1=51,a2=92,a3=5 2993 25 上得正交向量组 al. Cc ′25 2 a1=(1/2,1,)y,a2=(-2,1,0), ax3=(-2/5,-45,1) 上页

从而得特征值 9, 18. 1 = 2 = 3 = 将1 = 9代入(A − E)x = 0,得基础解系 2．求特征向量 将2 = 3 = 18代入(A− E)x = 0,得基础解系 ( 2,1,0) , 2 = − T  ( 2,0,1) . 3 = − T  3．将特征向量正交化 , 1 1 取  =  (1 2,1,1) . 1 T  = ,  2 =  2     , , , 2 2 2 2 3 3 3       =  − 得正交向量组 ( 2 5, 4 5,1) . 3 = − − T  ( 2,1,0) , 2 = − T 1 (1 2,1,1) ,  T  =

4.将正交向量组单位化,得正交矩阵P 令 们=t (=1 3 2/5 2/45 得71 2/3,7 1√5n3=-4√45 2/3 0 5/45 1/3-2/5-2/45 所以P=2/31/5-4/45 2/305/45 上页

= , (i = 1,2,3), i i i   令  得 , 0 1 5 2 5 2           − , = 2 3 2 3 1 3 1            = . 5 45 4 45 2 45 3           − −  = . 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45           − − − 所以 P = 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P

于是所求正交变换为 x1(1/3-2/5 2/45Yy x2=2/31/5-445y2 x3)(2/305/45 且有∫=9y2+18y2+18y2 上页

于是所求正交变换为 , 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45 3 2 1 3 2 1                     − − − =           y y y x x x 9 18 18 . 2 3 2 2 2 1 且有 f = y + y + y