北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）向量空间（习题课）

生1向量的定义 定义n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的 数组称为n维向量这n个数称为该向量的分量 王第个数a称为第个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 上页

. . , , , , 1 2 第 个 数 称为第 个分量 数组称为 维向量 这 个数称为该向量的分量 个有次序的数 所组成的 i a i n n n a a a i  n 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． １ 向量的定义 定义

n维向量写成列的形式称为列向量即 1 2 = n n维向量写成行的形式称为行向量即 a7=(a1,a2,…,an) 上页

            = a a a a n n  2 1 维向量写成列的形式,称为列向量,即 a (a a a ) n n T , , , , , = 1 2  维向量写成行的形式称为行向量 即

王向量的相等 设a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn) 则a=b分a;=b;(i=1,2,…,n) 零向量 分量全为0的向量称为零向量 T=0分ui =0(G=1,2,…,n) 工工工 a1≠O分a;中至少有一个不为0,(=1,2,…,n) 负向量 向量a=(a1,a2,…,an)的负向量记作-a2,且 a=(-a1,-a2,…,-an 上页

向量的相等 ( 1,2, , ) ( , , , ), ( , , , ) 1 2 1 2 a b a b i n a a a a b b b b i i T T n T n T    =  = = = = 则 设 零向量 分量全为0的向量称为零向量． a O a 0(i 1,2, ,n) i T =  = =  a O a 0,(i 1,2, ,n) i T   中至少有一个不为 =  负向量 ( , , , ). ( , , , ) , 1 2 1 2 a a a a a a a a a n T T n T − = − − − = −  向 量  的负向量记作 且

庄2向量的线性运算 向量加法 设a7=(a1;a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),定义 王向量2与6的加法为: a+b =(a+ bisa+b2, .,anton 向量减法定义为 a1-b=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn) 上页

向量加法 ( , , , ) : ( , , , ), ( , , , ), 1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b a b a b a b a a a a b b b b n n T T T T n T n T + = + + + = =    向 量 与 的加法为 设 定 义 ( , , , ) a b a1 b1 a2 b2 an bn T T − = − −  − 向量减法定义为 ２ 向量的线性运算

数乘向量 数k与向量a的乘积称为向量的数量乘法 王简称数乘向量定义为 ka7=(ka1,ka2,…,kan) 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算,满足下列八条运算规则: (1)加法交换律a+B=B+a; 工工 (2)加法结合律(a+B)+y=a+(6+y); (3)对任一个向量a,有a+O=a; 上页

数乘向量 ( , , , ) , , k a k a1 k a2 k a k a n T T =  简称数乘向量 定义为 数 与向量 的乘积 称为向量的数量乘法 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则： (1)加法交换律  +  =  +; (2)加法结合律 ( +  ) +  = + ( +  ); (3)对任一个向量,有 + O =;

(4对任一个向量a,存在负向量-a,有 a+(-a)=0; (5)la=a; (6)数乘结合律k(a)=(k)ar; (7)数乘分配律k(a+B)=ka+kB; (8)数乘分配律(k+Da=ka+la. 其中a月7为维向量1为数O为零向量 上页

( ) ; (4) , , + − = O −   对任一个向量 存在负向量  有 (5) 1 =; (6)数乘结合律 k(l) = (kl); (7)数乘分配律 k( +  ) = k + k; (8)数乘分配律 (k + l) = k + l. 其 中,  ,为n维向量,1,k,l为 数,O为零向量

除了上述八条运算规则,显然还有以下性质: (1)0a=O,kO=O(其中0为数零,为任意数; (2)若ka=O,则或者k=0,或者a=O; 3)量方程a+x=唯一解=B-a 上页

除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： (1') 0 = O,kO = O(其 中0为数零,k为任意数); (2')若k = O,则或者k = 0,或 者 = O; (3')向量方程 + x = 有唯一解x =  −

生3线性组合 若干个同维数的列(行)向量所组成的集合 叫做向量组 定义给定向量组4:a1,a2,…,am,对于任何一组 实数k,k2,km向量 k1a1+k2a2+……+k ncm 牛称为向量组的一个线性组合k,k2,…km称为 c这个线性组合的系数 上页

若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组． 定义 . , , , , , , , , : , , , , 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 这个线性组合的系数 称为向量组 的一个线性组合 称 为 实 数 向 量 给定向量组 对于任何一组 A k k k k a k a k a k k k A a a a m m m m m     + + + ３ 线性组合

庄4线性表示 定义给定向量组4:a1,a2,…,am和向量b如果 存在一组实数k1,k2,…,km,使 b=k1a1+k2a2+…+kmam 王则向量是向量组的线性组合这时称向量能 由向量组A线性表示 上页

定义 . , , , , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 由向量组 线性表示 则向量 是向量组 的线性组合 这时称向量 能 存在一组实数 使 给定向量组 和向量 如 果 A b A b b k a k a k a k k k A a a a b m m m m = + ++   ４ 线性表示

定理向量b能由向量组A线性表示的充分必要条 件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵B=(a1, a2,…,am,b)的秩 定义设有两个向量组4:am1,a2,…,am及B:b1, b2,…,b,若B组中的每个向量都能由向量组4 线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示 午若向量组A与向量组B能相互线性表示则称这 牛两个向量组等价 上页

定理 , , , ) . ( , , , ) ( , 2 1 2 1 的 秩 件是矩阵 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要条 a a b A a a a B a b A m m  =  = 定义 . , , . , , , : , , , : , 2 1 2 1 两个向量组等价 若向量组 与向量组 能相互线性表示则称这 线性表示 则称向量组 能由向量组 线性表示 若 组中的每个向量都能由向量组 设有两个向量组 及 A B B A b b B A A a a a B b s m  