北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 二次型 8.1 二次型及其矩阵表示

第8章二次型 ●8.1二次型及其矩阵表示 ●82二次型的标准形 王.3惯性定理和规范形 庄·84实二次型的正定性 85二次曲面的分类 ●总结习题课 上页

第8章 二次型 8.1 二次型及其矩阵表示 8.2 二次型的标准形 8.3 惯性定理和规范形 8.4 实二次型的正定性 8.5 二次曲面的分类 总结 习题课

A8.1.1二次型 定义1含有n个变量x1,x2,…,x的二次齐次函数 f(xu,,,,x n 1 11+a22X2+… nn +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1-,nxn-1xn 称为二次型 (8-1) 当a1是复数时/称为复二次型; 当a1是实数时称为实二次型 上页

8.1.1 二次型 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 ,  , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型 (8-1)

二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 ∫(x1,x2,…,xn)=a1x2+a2x2+…+amx2 +2a1 121~2 +2a1x1x3+…+2a n-1,n。n n 取an=an,则2mxx=mxx+axx,于是 工工工 f=auxi +au2xx2+.+aunxx +a21x2x1ta22x2+.'ta2nx2xn +…+an1xnx1+an2xnx2+…+anx2 =∑ax;x i,j=1 (8-2) 王页下

1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j =  ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二次型的表示方法 (8-2)

2.用矩阵表示 f=auxi aux,x2 +.+alnxx +a21C2C1+a222+……+ 2n2 n +…+a,xx;+a,x.x,+…+ax2 =x1(1x1+a1 X,十∴ 12~2 aunt) +x2(a21x1+a2x2+…+a2mxn) +…+xn(anx1+an2x2+…+amxn) 1x1+12x2+… Cinn 21x1+a22X2+…+a2nXn =(x1x2……Xn n11+an2X2+…+amXn 上页

2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +                   + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )

11 2 In (x1,x2,…, 21 22 2n 2 n n 12 n 记A= 21 22 2n x 工工 nI n2 n n 则二次型可记作∫=x7Ax,其中A为对称矩阵 (8-3) 上页

则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               =               = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A         记 ( )                             = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , , , (8-3)

二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵4叫做二次型f的矩阵 工工工 f叫做对称矩阵4的二次型 对称矩阵4的秩叫做二次型f的秩 上页

在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩. 二次型的矩阵及秩

例1写出二次型 f=xi +2x2 23x3 2+4x1x2-6x2x 的矩阵 解 三 =-3 a12=a21=2,a13=a31=0, a,=a,=-3. 120 ∴A=22-3 0-3-3 上页

解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0   − −  A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１

生8.2非退化线性替换 定义8-2:设x,x2,,xn;1,y2,…,yn是两组变量, 系数在数域P中的下列关系式称为从变量x1,x2,…,xn 到H,,…,的一个线性替换 X,=CuV+ c2lv2t.+Cny 2=C1y1+c2y2+…+Cn2yn (8-4) xn=C1m+C2mny2+……+cmyn 上页

8.1.2 非退化线性替换 1 2 , , , n x x x 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + 1 2 1 2 , , , ; , , , n n 定义8-2：设 x x x y y y 是两组变量， 系数在数域P中的下列关系式称为从变量 到 y y y 1 2 , , , n 的一个线性替换。 (8-4)

上如果系数矩阵C=(cn)非退化,则称(84)为非退化 的,或可逆的,也称满秩线性变换。 如果系数矩阵C是正交矩阵,则称(8-4为正交的,简 称正交替换。 VI 令X Y= (8-4可表为 X=CY (8-5) 上页

如果系数矩阵 非退化，则称(8-4)为非退化 的，或可逆的，也称满秩线性变换。 ( ) C c = ij n n 如果系数矩阵C是正交矩阵，则称(8-4)为正交的，简 称正交替换。 令 1 1 2 2 , n n x y x y X Y x y             = =             (8-4)可表为 X CY = (8-5)

将线性替换8-5代入二次型∫=XAX 得二次型f=XAX=Y(CAC)Y 问题:怎样通过合适的非退化线性替换将 次型变得简单些? 上页

问题：怎样通过合适的非退化线性替换将 二次型变得简单些？ 将线性替换(8-5)代入二次型 T f X AX = ( ) T T T 得二次型 f X AX Y C AC Y = =