北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 行列式 §2.5 行列式按一行（列）展开

§2.5行列式按一行(列)展开 251展开公式 252行列式的计算(3) 253小结 上页

§2.5 行列式按一行(列)展开 2.5.3 小结 2.5.1 展开公式 2.5.2 行列式的计算(3)

生251展开公式 1余子式与代数余子式 12 13 容易验证:ana2a 31 32 33 22 23 21 23 21 23 2 13 工工工 32 33 31 33 31 33 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算 问题:一个n阶行列式是否可以转化为若干个 n-1阶行列式来计算? 上页

容易验证： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算？ 1.余子式与代数余子式 2.5.1 展开公式

黑定义2-7在n阶行列式中,把元素an所在的第行和 第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素 t的余子式记为Mn 称A4=(-1)"Mn为元素an的代数余子式 上例如: 12 13 14 12 D 27……, 22423 24 M,= 31 工工 31 32 33 34 41 42 4142, 43 44 A2=(-1)+3M2=-M23 上页

定义2-7 在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 ij a 的余子式.记为 Mij 称 ( ) ij i j Aij M + = − 1 为元素 ij a 的代数余子式. 例如： 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23

12 13'c 21 23 24 sD 21 22 M 12 31 33 34 31 32 43 44 4…42……书3…… A2=(-1)+2M1=-M2 212 44 21 23 A4=(-1)M4=M4 32 注意:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式. 上页

41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − = −M12 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 44 44 4 4 A44 = − 1 M = M + 注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式

王2行列武按一行(列)展开法则 定理25行列式等于它的任一行(列)的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和,即 庄D=an41+a242+…+amA1(=12…“, 证明(先特殊,再一般) 分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理 工工工 (1)假定行列式D的第一行除a1外都是0 0 0 D 21 22 n2 nn I 上页

行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 D = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin(i = 1,2,  ,n) 定理2-5 证明 （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理. (1)假定行列式D的第一行除 11 a 外都是 0. n n nn n a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 0 0 = 2.行列式按一行（列）展开法则

王由行列式定义,D中仅含下面形式的项 、b4y"a142b5…a =a1(-1 (1,j2,j3,…,n) 21233mjn c其中(-1)b2…am恰是M1的一般项 王所以D=nM 工工 =an(-1)+Mn a. A 上页

由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 n n j j nj j j j a a a a  2 3 2 3 11 2 3 (1, , , , ) ( 1)  − n n j j nj j j j a a a a  2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) 11 ( 1)  = − 其中 n n j j nj j j j a a a  2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) ( 1)  − 恰是 M11 的一般项. 所以 D = a11M11 11 1 1 11 a ( 1) M + = − = a11A11

士 (2)设D的第i行除了4外都是0. 11 D=0 0把D转化为(1)的情形 11 n nn 上把D的第i行依次与第-1行,第-2行,… 上第2行,第行交换;再将第j列依次与第-1列, 上第j-2列,…第2列,第1列交换,这样共经过 王(-1)+(-12=1+-2次交换行与交换列的步骤

(2) 设 D 的第 i 行除了 ij a 外都是 0 . n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 i 行依次与第 i − 1 行，第 i − 2 行，····· ·， 第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j − 1 列， 第 j − 2 列，······，第2列，第1列交换，这样共经过 (i − 1) + ( j − 1) = i + j − 2 次交换行与交换列的步骤

由性质2-2,行列式互换两行(列)行列式变号, 得 0 0 D=(-1)21a-1 1,n n,j-1 m1 =(-1)+anM =(-1)+A 上页

由性质2-2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得 nj n j nn i j i j i n i j i j a a a a a a a D             , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 ( 1) − − − − − + − = − ij ij = (−1) i+ j a M ij i j A + = (−1)

(3)一般情形 11 12 In D=a a i2 n2 nn I 12 In : =an+0+…+00+a2+…+0…0+…+0+an nn 上页

(3) 一般情形 n n nn i i in n a a a a a a a a a D            1 2 1 2 11 12 1 = n n nn i i i n n a a a a a a a a a               1 2 1 2 11 12 1 = + 0 + + 0 0 + + + 0 0 + + 0 +

aL 11 2:0 iI 0+0a2…0+…+00 2 a,a 2 1 n2 =A+aA2++am(i=12,…,n)证毕 3-53 王例如,行列式D=0-10按第一行展开,得 772 10000-1 D=-3 +5 +3 727277 上页

n n nn i n a a a a a a a            1 2 1 11 12 1 = 0 0 n n nn i n a a a a a a a            1 2 2 11 12 1 + 0 0 n n nn in n a a a a a a a             1 2 11 12 1 + + 0 0 = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin (i = 1,2,  ,n) 例如，行列式 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − D = 7 2 1 0 3 − D = − = 27. 按第一行展开，得 7 2 0 0 + 5 7 7 0 1 3 − + 证毕