复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第四章 矩阵和线性方程组 矩阵4.2

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§2矩阵 矩阵是线性代数主要的研究对象,在数学的许多 分支中有着重要的应用。许多实际问题可用矩阵来表 示,并可用线性代数的矩阵理论来解决。 本章主要讨论: 矩阵的概念及其运算; 逆矩阵; 初等变换与矩阵的秩; 线性方程组的求解

§2 矩阵 矩阵是线性代数主要的研究对象，在数学的许多 分支中有着重要的应用。许多实际问题可用矩阵来表 示，并可用线性代数的矩阵理论来解决。 本章主要讨论： 矩阵的概念及其运算； 逆矩阵； 初等变换与矩阵的秩； 线性方程组的求解

矩阵的概念 1、定义nxm个实数an(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m 排成的n个行m个列的数表。 12 Im称为nxm的实矩阵, a1.矩阵的元素,表示 第i行第j列交叉位置上的元素 n n2 nm 矩阵通常用大写字母A、B、C等表示, 简记为A4m=(an) nx 行矩阵a1a2…am)列矩阵2

一、矩阵的概念 ( 1,2, , ; 1,2, , ) n m a i n j m    ij               n n nm m m a a a a a a a a a        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n m ij a 矩阵通常用大写字母A、B、C 等表示， 简记为 ( ) A a n m ij n m    ( ) 1 2 m 行矩阵 a a  a               n a a a  2 1 列矩阵 1、定义 个实数 排成的 n 个行 m 个列的数表。 称为 的实矩阵， 为矩阵的元素，表示 第 i 行第 j 列交叉位置上的元素

2、两个矩阵A和B相等 同型矩阵:矩阵A和B的行数与列数分别相同 只有两个同型矩阵才能讨论其相等。 两个矩阵A和B相等 兮A和B同型矩阵,且对所有的ij满足=b 记为:A=B 3、n阶方阵行数与列数相等的矩阵 一般形式:41an 22 2n 2

2、两个矩阵 A 和 B 相等 同型矩阵：矩阵 A 和 B 的行数与列数分别相同 只有两个同型矩阵才能讨论其相等。 两个矩阵 A 和 B 相等  A和 B 同型矩阵，且对所有的 i 、j 满足 ij ij a b  记为：A = B 3、n 阶方阵 行数与列数相等的矩阵 一般形式： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a            

4、单位矩阵 nxI 0i≠j 5、数量矩阵 0 0 6、对角矩阵 0 diag( 15u2 nxI nXI

4、单位矩阵   1 0 0 0 1 0 0 0 1 n ij n n n n I                  1 0 ij i j i j        6、对角矩阵   1 2 1 2 0 0 0 0 ( , , ) 0 0 n ij i n n n n n d d diag d d d d d                   5、数量矩阵 0 0 0 0 0 0 n n n I                  

7、三角矩阵 1)上三角阵()(=0,1> 11 12 0 即: n 2)下三角阵(q)(a=0,i<) 0 即 0 21 n2

7、三角矩阵 1）上三角阵  ij ij   0 ,  n n a a i j    11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a             即： 2）下三角阵  ij ij   0 ,  n n a a i j    即： 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a            

8、零矩阵0,m 所有元素全为零an=0(i=1,…,n;j=1,…,m) 也即分量全是零的向量称为零向量 9、负矩阵 设 nxn -A=ai 10、转置矩阵 设A=(an)m∈R 则转置矩阵A=(bn)mn其中 即矩阵的行(或列)换成列(或行)所得的矩阵 列向量表示a、b行向量表示 b T 显然,对A,(A1)=A

8、零矩阵 0n m 所有元素全为零 0 ( 1, , ; 1, , ) ij a i n j m    也即分量全是零的向量称为零向量。 9、负矩阵 设 ( ) A a  ij n m ( )    A aij n m 10、转置矩阵 设 ( ) n m A a R ij n m     则转置矩阵 ( ) T A b  ij m n 其中 ij ji b a  即矩阵的行（或列）换成列（或行）所得的矩阵。 列向量表示 a b、               n a a a  2 1 行向量表示 T T a b、 1 2 ( ) T n 显然，对 A , ( ) a a a a  T T A A 

二、矩阵的运算 1、加法 设A=(an)mB=(bn)nm∈Rm 定义A+B=(an+bn)m(i=1,…mn;j=1,…,m) 矩阵的加法满足如下运算规律: 1)A+B=B+A 2)A+(B+C)=(4+B)+C 3)(4+B)=A+B7 4)A+0=A 5)A+(-4)=0

二、矩阵的运算 1、加法 设 ( ) A a  ij n m ( ) n m B b R ij n m     定义 ( ) A B a b   ij ij n m ( 1, , ; 1, , ) i n j m   矩阵的加法满足如下运算规律： 1) A B B A    2) ( ) ( ) A B C A B C      3) ( )T T T A B A B    4) 0 A A   5) ( ) 0 A A   

2、减法 设A=(an)mB=(bn)mm∈R nx n 定义A-B=A+(-B)=(an-b) nx 3、数乘 设数∈RA=(a) ∈R nx nx 定义:数乘为A=(an)m 矩阵的数乘满足如下运算规律: 1)(4)A=(4) 20 2)(孔+p)A=4+pA4a 0见 0 3)孔(4+B)=A+AB nXI

2、减法 设 ( ) A a  ij n m ( ) n m B b R ij n m     定义 ( ) ( ) A B A B a b      ij ij n m ( 1, , ; 1, , ) i n j m   3、数乘 设 数   R ( ) n m A a R ij n m     定义：数乘为 ( )   A a  ij n m 矩阵的数乘满足如下运算规律： 1) ( ) ( )    A A  2) ( )        A A A 3) ( )    A B A B    0 0 0 0 0 0 n n n I                  

4、乘法 设A=(an)nm∈R"B=(bn)mp∈R 定义矩阵A与B的乘积为: · n×mm×P ∑q4=(anb Im m nxp =1 n×P 表示:A4mBm的第i行第列交叉位置(,处 的元素等于A的第i行元素与B的第j列元素对 应相乘后加起来。 注意:A与B可相乘,即AB有意义的条件是 A列数必须等于B的行数。 结果是乘积AB的行数等于A的行数, 列数等于B的列数

4、乘法 设 ( ) n m A a R ij n m     ( ) m p B b R ij m p     定义矩阵 A 与 B 的乘积为： 1 m n m m p ik kj k n p A B a b             1 1 2 2 ( ) i j i j im mj n p a b a b a b     表示： A B n m m p   的第 i 行第 j 列交叉位置 ( , ) i j 处 的元素等于 的第 行元素与 的第 列元素对 应相乘后加起来。 A i B j 注意： A 与 B 可相乘，即 AB 有意义的条件是 A 列数必须等于 B 的行数。 结果是 乘积 AB 的行数等于 A 的行数， 列数等于 B的列数