复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第二章 微分与导数 微分的概念与运算2.3

§3微分运算 、基本初等函数的微分公式 对可微函数y=f(x),其微分y=f(x)d 由求导公式和求导运算法则,可直接得到如下 微分公式和微分运算法则。 1)基本初等函数的微分公式(p67) 2)微分运算法则 设f和g均是可微函数,a,是常数, J 1.d(af+Bg)=d(af)+d(Bg)=adf+ Bdg 2. d(8)=gdf+fdg

§3 微分运算 1 一、基本初等函数的微分公式 对可微函数 y = f (x) ，其微分 dy  f (x)dx 1）基本初等函数的微分公式（p67） 由求导公式和求导运算法则，可直接得到如下 微分公式和微分运算法则。 2）微分运算法则 1. ( ) d f g      d f d g ( ) ( )       df dg 2. ( ) d fg   gdf fdg 设  , f 和 g 均是可微函数， 是常数， 则

3.4()=- (g≠0) g 4.d= 中y If(y)小 f"(x) 5.∫(g(x)=f(u)g(x)dx

2 3. ( ) f d g  (g  0) 2 gdf fdg g  4. ( ) dy dx f x   1 [ ( )] f y dy    5. [ ( ( ))] d f g x  f u g x dx   ( ) ( )

二、一阶微分形式的不变性 设函数y=f(x)有导数∫(x) 1)若x是自变量,则小=∫(x)dhx 2)若x是中间变量时,即另一变量t的可微函数 函数x=g(),则 dy=(fo pr(t)dt=f'io(tlo(tdt=f(x)dx 所以,无论x是自变量还是中间变量, 函数y=f(x)的微分形式 中=∫(x)d始终保持不变

3 二、一阶微分形式的不变性 dy f t dt  ( ) ( )    f [(t)](t)dt  f (x)dx dy  f (x)dx 设函数 y = f (x) 有导数 f x ( ) 1）若 x 是自变量，则 2）若 x 是中间变量时，即另一变量 t 的可微函数 函数 x t  ( ) ，则 所以，无论 x 是自变量还是中间变量， 函数 y = f (x) 的微分形式 dy  f (x)dx 始终保持不变

例1、y=Im(1+e)求 例2、对于y=∫(x)求d2y

4 2 (1 ) x 例1、 y In e dy   求 例2、对于 y = f (x) 求 2 d y

d 例3、设y= arctan(1+e),求 d tanx 例4、设y=∫(x)由方程xy2+sinx3=y3确定, 求

5 例3、设 y e   arctan(1 ) x ，求 tan dy d x 例4、设 y = f (x) 由方程 确定， 求 dy . 2 3 sin 3x xy x y   

隐函数求导 显函数:函数y可用变量x的方程来表示y=∫(x) 隐函数:y与x的关系不易或不能相互显表示, 而是由一个解析式表示F(x,y)=0 如 R+i=1, cos xy+In+2=0 b 隐函数的F(x,y)=0求导法则: 用复合函数求导法则同时对方程两边求导

6 三、隐函数求导 F x y ( , ) 0  2 2 2 2 1 , x y a b   cos xy  Inxy 2  0 显函数：函数 y 可用变量 x 的方程来表示 y = f (x) 隐函数：y 与x 的关系不易或不能相互显表示， 而是由一个解析式表示 如： 隐函数的 F (x, y) = 0 求导法则： 用复合函数求导法则同时对方程两边求导

例5、c0sxy”+mxy+2=0求y 例6、设曲线C的方程为x3+y3=3xg,求过C上 点(,=)的切线方程,并证明曲线C在该点的 法线通过原点。 例7、x4-x+y=1求y"在点(0,1)处的值

7 例5、 cos 2 0 xy Inxy y     求 3 3 ( , ) 2 2 3 3 例6、设曲线 C 的方程为 x y xy   3 ，求过 C 上 点 的切线方程，并证明曲线 C 在该点的 法线通过原点。 4 4 例7、 x xy y y    1 求  在点 (0, 1) 处的值

四、参数方程求导 平面直角坐标系中,一般曲线可以用参数给出, ∫x=g() y=v(ote,月确定y与x间的函数关系, 称此为由参数方程所确定的函数。 例8、 =2t 求y

8 四、参数方程求导 [ , ] ( ) ( )           t y t x t 平面直角坐标系中，一般曲线可以用参数给出， 确定 y 与x 间的函数关系， 称此为由参数方程所确定的函数。      2 2 y t x t 例8、 求 y 

问题:消去参数困难或无法消去参数时,如何求导? x=φp(t 设在方程 中 y=y() 则曲线的切线的斜率:的·且(t)≠0, 若函数x=g(t),y=y()都可导 dt y'(t p(t) dt 若函数x=q(t),y=v()二阶可导 划=(dd(vf()dt dx dx dxdt(t) dx y"(t)p(t)-y'(t)q"(t)1 p()2 p(t) 9

9 dt dx dt dy dx dy  ( ) ( ) t t      问题：消去参数困难或无法消去参数时，如何求导？ ( ) ( ) x t y t        设在方程 中， 若函数 x t y t     ( ), ( ) 都可导，且 ( ) 0, t  则曲线的切线的斜率： 若函数 x t y t     ( ), ( ) 二阶可导， ( ) ( ) d t dt dt t dx            2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [ ( )] ( ) t t t t t t               2 2 d y d dy dx dx dx        则

x=acos t 例9、求由方程 表示的函数的 y=asin t d 2 例10、设曲线r由极坐标方程r=r()所确定,试求 该曲线上任一点的切线斜率,并写出过对数螺线 r=e°上点e2,处的切线的直角坐标方程

10 3 3 cos sin x a t y a t      例9、求由方程 表示的函数的 2 2 d y dx 例10、设曲线 由极坐标方程 所确定，试求 该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线  r r  ( )  r e  上点 2 , 处的切线的直角坐标方程。 2 e        