复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第六章 空间解析几何 6.1 向量的外积与混合积

第六章空间解析几何 ★←★

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平面解析几何是通过坐标法,把平面上的点与 对有序的数对应起来,把平面上的图形和方程对应 起来,从而可以用代数方法来研究几何问题。空间 解析几何也是按照类似的方法建立起来的,它是在 三维坐标系中,用代数方法研究空间曲面和曲线性 质的一个数学分支

2 平面解析几何是通过坐标法,把平面上的点与一 对有序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应 起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间 解析几何也是按照类似的方法建立起来的，它是在 三维坐标系中，用代数方法研究空间曲面和曲线性 质的一个数学分支

§1向量的外积与混合积 、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系 即以右手握住z轴,右手的四个手指从正向x轴 以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴 的正向。 z竖轴 原点o y纵轴 横轴x 空间直角坐标系

3 §1 向量的外积与混合积 一、空间直角坐标系 横轴 x y 纵轴 z 竖轴 原点o  空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系。 即以右手握住 z 轴，右手的四个手指从正向 x 轴 以π/2 角度转向正向 y 轴时， 大拇指的指向就是 z 轴 的正向

空间直角坐标系共有八个卦限 Oz面 Oyz面 Oxy面

4 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅶ Oxy 面 Oyz 面 Ozx 面 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ x o y z

1-1对应 空间的点< 有序数组(x,y,z) 特殊点的表示 O(0,0,0) 坐标轴上的点D,E,F, 坐标面上的点A,B,C, F(0,0, B(0,y,z) x,0,Z x,v, z 0 x∠D(x,0,0) (x,y,0)

5 特殊点的表示: P x y z ( , , )  x y z o D x( ,0,0) E y (0, ,0) F z (0,0, ) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) D E F , , , A, B, C, O(0,0,0) 空间的点  1-1对应 有序数组（x , y , z） 坐标轴上的点 坐标面上的点

二、向量的概念及性质 向量的定义具有大小和方向的量。 空间上的向量:有向线段(长度和方向) 向量表示:oMa∈R3a=x+y+zka(x,y,z 说明: 1)本书所研究的向量,只考虑其大小和方向, 不考虑其起点; 2)i,j,k分别表示沿x,yz轴正向的单位向量; 3)R3中向量的坐标表示: M, y, z) (x2-x1,2-y1,z2-x1)

6 二、向量的概念及性质 具有大小和方向的量。 向量表示： 空间上的向量: 1、向量的定义 OM a xi yj zk    a x y z ( , , ) 有向线段（长度和方向） x y z o i  j  k  a  M(x, y , z) 说明： 1）本书所研究的向量，只考虑其大小和方向， 不考虑其起点； 2） i j k , , 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量； 3 a R  3）R3中向量的坐标表示： M M1 2 ( , , ) 2 1 2 1 2 1 x  x y  y z  z

2、向量的模 定义:设x是R"上的任意向量,定义x的长度为 n |=1∑x2称为x的模或范数 k=1 当刚=1时,称为单位向量。 说明:1)在空间三维坐标系中:础=x2+x2+x 2)模为零的向量为零向量0, 零向量的方向是任意的。负向量为一 3)向量MM2(x2-x,y2-,x2-x)的模为 142 (x2-x1)2+(吗2-1)+(2-1)

7 2、向量的模 定义: 说明： 2 3 2 2 2 1 x  x  x  x    n k k x x 1  2 n 设 x R 是 上的任意向量，定义 x 的长度为 称为 x 的模或范数。 当 x  1 时，称 x 为 单位向量。 1）在空间三维坐标系中： 2）模为零的向量为零向量 0 ， 零向量的方向是任意的。负向量为x 3）向量 1 2 2 1 2 1 2 1 M M x x y y z z ( , , )    的模为 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 M M x x y y z z       ( ) ( ) ( )

3、向量的方向余弦 设非零向量x与三坐标轴的正向的夹角 a,B,y,称为方向角, cosa,cosB,cosy称为向量的方向余弦。 说明: 1)方向余弦表示向量的方向; 2)向量{c0sa,c0s,cosy是与方向相同的单位向量;

8 3、向量的方向余弦 cos , cos , cos    x y z o  M1 M2    P Q R 设非零向量 x 与三坐标轴的正向的夹角 ,  ,  , 称为方向角， 称为向量 x 的方向余弦。 说明： 1）方向余弦表示向量的方向； 2）向量 cos , cos , cos     是与 x 方向相同的单位向量；

3)如x(x,x2,x) 则cosa= 2 2 2 222 x十x cos B x1+x2+x3 0≤α≤π, 3 cos y 2 2 0≤β≤兀 x1+x2+x3 0≤y≤兀 (cos a, cos B, cosy 表示线段OM距离原点O一个单位的点。 9

9 2 3 2 2 2 1 2 cos x x x x     2 3 2 2 2 1 3 cos x x x x     3）如 x x x x  1 2 3 , ,  1 222 1 2 3 cos x xxx     则 x y z o  M1 M2    P Q R (cos , cos , cos )    表示线段OM 距离原点O 一个单位的点。 0    , 0    , 0    

4、向量的运算法则 设忑=(x,x2,x3)j=(1,y2,y3) 1)加法(平行四边形法则) Ep x+y=(x1+)1,x2+y2,x3+y3) y 满足a)x+j=j+元 b)(x+y)+z=x+(y+) c)|+≤x+ ≤x+ 10

10 4、 向量的运算法则 y  x  x y    ( , , ) 1 1 2 2 3 3 x  y x  y x  y a x y y x )    b x y z x y z ) ( ) ( )      1 2 3 x x x x  ( , , ) 1 2 3 设 y y y y  ( , , ) 1）加法 （平行四边形法则） 即 x y   满足 c x y x y )    x y x y       