复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第七章 多元函数微分学 7.3 链式求导法则

§3链式求导法则 、多元函数求导的链式法则 定理设二元函数L=f(y,y2)可微, 二个二元函数{=81(x,x2) 可微, 2(19~2 则u作为(X1,x2)的函数是可微的, auau ay, au ay ax, ay, ax, ay, a au Ou av, au ay ax, ay, ax, av2 ax2 链式法则如图示l 2012/2/19

2012/2/19 1 §3 链式求导法则 一、多元函数求导的链式法则 定理 设二元函数 1 2 u f y y  ( , ) 可微， 二个二元函数 1 1 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) y g x x y g x x      可微， 则 u 作为 1 2 ( , ) x x 的函数是可微的， 且 1 u x    2 u x    1 2 1 1 2 1 u u y y y x y x          1 2 1 2 2 2 u u y y y x y x            1 y 2 y x1 链式法则如图示 u x2

对三元函数=f(v1,y2,y3)可微, 个二元函数 g1(x1,x2) 3 auau a, au ay, au ay 十 i=12 Ox av, ax a 2 ax. av, a 3 2012/2/19

2012/2/19 2 1 2 3 1 2 3 1,2 i i i i u u u u y y y i x y x y x y x                      u 1 y 2 y 3 y 1 2 3 对三元函数 u f y y y  ( , , ) 可微, 三个二元函数 x1 x2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) y g x x y g x x y g x x        

对m元函数=f(1,…,ym)可微, g1(x,…,x) n个m元函数 可微, 1 则u作为(x1,…,xn)的函数是可微的, au ay 且 9 a ∑ av. ax 实质 因变量u关于自变量x;的偏导数,等于u关于 各中间变量的偏导数与该中间变量关于x;的 偏导数乘积之和 2012/2/19 3

2012/2/19 3 对 m 元函数 1 ( , , ) u f y y  m 可微, n 个 m 元函数 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n m m n y g x x y g x x         可微, 则 u 作为 1 ( , , ) n x x 的函数是可微的, 且 1 1, , m j j i j i u u y i n x y x           实质: 因变量 u 关于自变量 xi 的偏导数，等于u 关于 各中间变量的偏导数与该中间变量关于 xi 的 偏导数乘积之和

例1、设z=f(x,y)= e sin y,x=st,y az az 求 as ot 解:z2.x az a as ax as ay as e sin y·t+e"cosy =te(sin Cos SS S azaz ax az ay 十 at ax at ay at e sin y·s+ e cos y =e ( ssin-t-cos 2012/2/19

2012/2/19 4 z x z y x t y t             sin x   e y s 1 ( sin cos ) st t t e s s s s   . t y s 例 1、设 ( , ) sin ,  x z f x y e y   x st  , , zs  . zt  求 解： z x z y x s y s             sin x  e y 21 (sin cos ) st t t te s s s   t cos x e y 2 ( ) ts   1 cos x e y s   zs zt 

在复合函数中若只有一个自变量, ep =f(,y)x=p(t) y=y(t) dz a d a dy 称为全导数。 dt ax dt ay dt 2012/2/19

2012/2/19 5 在复合函数中若只有一个自变量， 即 z f x y  ( , ) x t y t     ( ) ( ) dz dt  z dx z dy x dt y dt         称为 全导数。 z t x y

例2、设z=tan(3r+2x2-y),x=,y=,求 dt 解:=2.+2z.+2k.h dt ot dt ax dt ay dt sec(3t+2x2 y)·3 +Sec(3t+2x2-y)4x·(-2) +sec(3t+2x2-y)(-1)·t2 41 2 =(3 )sec(3+n-√t) 2 2012/2/19

2012/2/19 6 解： 1 x , t 例2、设  2 z t x y    tan(3 2 ) , y t  , z dt z dx z dy t dt x dt y dt            dz dt  2 2     sec (3 2 ) 3 t x y 2 2 2 1 sec (3 2 ) 4 ( ) t x y x t       1 2 2 2 1 sec (3 2 ) ( 1) 2 t x y t        2 3 2 4 1 2 (3 )sec (3 ) 2 t t t t t      求 . dz dt

2 auau 例3、设=e x+z z= x sin y,求 ax ay 解:记W=∫(x,y,z)=e+ au af d,可f刎y,可f0z可f,可∂z 十 ax ax dx ay ax a axax az ax =2xe+y+2+2ze+y+2. 2xsin y = 2x(1+2x sin y)e ty ta sin y au af. af a 十 z =2ye++2zex+y+·xC0sy 2(y+x sin y cos y )e- ty tx sin y ou 2012219cy(1,z

2012/2/19 7 例3、设 2 2 2 , x y z u e    2 z x y  sin , 求 , u x   (1, ) 2 . u y    解： 2 2 2 ( , , ) x y z u f x y z e   记   f dx x dx     f y y x       f z z x       f f z x z x          2 2 2 2 x y z xe    2 2 2 2 x y z ze    2 sin x y 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) x y x y x x y e     2 2 2 2 x y z ye    2 2 2 2 x y z ze    2 x y cos 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) x y x y y x y y e     u x   u y   f f z y z y          2 2 4 (1, ) 2 u e y        

特殊地z=∫(u,x,y)其中=(x,y 即z=∫|(x,y),x,y, 区 别 azLo, au afar au9f类 ax au ax lax 两者的区别 把z=∫(u,x,y 把复合函数z=八|叭(x,y)2x,y的u及看作 中的y看作不变而对的偏导数变而对x的偏导数 2012/2/19

2012/2/19 8 特殊地 z  f (u, x, y) 其中 u  (x, y) 即 z  f[(x, y), x, y],, x f x u u f x z            . y f y u u f y z            区 别 类 似 把复合函数 z  f[(x, y), x, y] 中的y 看作不变而对x 的偏导数 把 z  f (u, x, y) 中 的u及 y 看作不 变而对x的偏导数 两者的区别

例4、设z=q+xF(l),u=,求 oz az ax a 解:z=∫(X,y,)=x+xF(u) az af dx af ay af au afaf au 十 十 axax dx ay ax au axax au ax J+F()+xF(n)/- U+F/JV yFy az af af au 十 x+xF(u ayay au ay =x+F/y 2012/2/19 9

2012/2/19 9 例4、设 z xy xF u   ( ) , , y u x  解： z f x y u xy xF u    ( , , ) ( ) f dx x dx     f y y x       f u u x       f f u x u x           y F u( ) 2 ( ) y xF u x          y y y y F F x x x                  x 1 xF u( ) x         y x F x          求 , z x   . z y   z x   z y   f f u y u y         

例5、设z=x J 2|,其中∫为任意可微函数, 求证O dz +2 nz ax 证:a y 2x y n-3 J J ay x-+2y ax rnx 2x'yf +2J 2012/2/19 nk 10

2012/2/19 10 例5、设 2 , 其中 f 为任意可微函数， n y z x f x        求证 2 . z z x y nz x y       证： 1 2 z y n nx f x x           2 3 n y y 2 x f x x                 1 3 2 2 2 n n y y nx f x yf x x                  2 2 z y n 1 x f y x x                  2 2 n y x f x          2 z z x y x y       1 3 2 2 2 n n y y x nx f x yf x x                        2 2 2 n y yx f x           nz