复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第七章 多元函数微分学 7.4 隐函数微分法及其应用

§4隐齑数撒分法其应用 隐函数存在定理F(x,y)=0 设函数F(x,y)在点P(x,y)的某邻域U(f,) 有定义,而且 1)F(x0,y)=0, 2)在O(1,δ)中F及其偏导数F,F连续, 3)Fy(x,)≠0, 则彐δ>0,在(x0-δ,x+δ)中唯一确定隐函数∫ 使得1)F(x,f(x)=0,x∈(X0-0,x0+5), yo=f(ro) 2)∫在(x-8x+δ)中可微,且中_F d x F J 2012/2/22

2012/2/22 1 §4 隐函数微分法及其应用 隐函数存在定理 F x y ( , ) 0  设函数 F (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某邻域 0 U P( , )  有定义，而且 0 0 1) ( , ) 0 , F x y  ( , ) 2) 在 O P0  中 F 及其偏导数 连续， 0 0 3) ( , ) 0 , F x y y   , F F x y   则    0 ，在 (x0  , x0  ) 中唯一确定隐函数 f ， 使得 1) ( , ( )) 0 , F x f x  0 0 x x x    ( , ) ,   ( ) 0 x0 y  f x y dy F dx F     2) f 在 (x0  , x0  ) 中可微，且

隐函数的求导公式中F dx 当隐函数∫存在时,由F(x,y)=0,两边对x求导得 F+F =0(y=f(x) dy →dF 2012/2/22

2012/2/22 2 隐函数的求导公式 x y dy F dx F     当隐函数 f 存在时, 由 F (x, y) = 0 , 两边对 x 求导得      0 ( y  f (x)) dx dy Fx Fy  y x F F dx dy    

隐函数存在定理F(x,y,z)=0 设函数F(x,y,列在点P(xn,y0,z)的某邻域 O(P0,)有定义,而且 0,1,x)=0 2)在O(P,δ)中F及其偏导数F,F,F连续, 3)F2(x0,%,z)≠0 则彐δ>0,在(x-δ,如十δ)中唯一确定二元隐函数∫ 使得1)F(x,y,∫(x,y)=0,P∈O(P0,), o=f(x0,J); 2)∫在O(P,)中可微,且 一-,· 2012/2/22 01=￠ ax O 3

2012/2/22 3 隐函数存在定理 F x y z ( , , ) 0  0 0 0 1) ( , , ) 0 , F x y z  0 0 0 3) ( , , ) 0 , F x y z z   1) ( , , ( , )) 0 , F x y f x y  0 P O P  ( , ) ,  0 0 0 z f x y  ( , ) ; , x z z F x F       . y z z F y F       设函数 F (x, y, z) 在点 的某邻域 ( , ) O P0  有定义，而且 0 0 0 0 P x y z ( , , ) ( , ) 2) 在 O P0  中 F 及其偏导数 , , 连续， F F F x y z    则    0 ，在 (x0  , x0  ) 中唯一确定二元隐函数 f ， 使得 2) f 在 O(P0 , ) 中可微，且

例1、求方程x2+y2-1=0所确定的隐函数y=f(x) 在点(0,1)的一阶导数和二阶导数。 例2、求由方程cos2x+cos2y+cos2z=1 所确定的隐函数z=f(x,y)的全微分dz az ax a 例3、设z=f(x+y+x、xax,az 2012/2/22

2012/2/22 4 例1、求方程 1 0 所确定的隐函数 y = f (x) 2 2 x  y   在点 (0, 1) 的一阶导数和二阶导数。 例2、求由方程 cos cos cos 1 2 2 2 x  y  z  所确定的隐函数 z = f (x, y) 的全微分 dz . 例3、设 z f x y z xyz    ( , ) , 求 , z x   , x y   . y z  

例4、设z=z(x,y)由方程F(x+3,y+2)=0 所确定,其中F具有连续偏导数。 oz az 证明x。+yx=z-x 例5、设u=f(x,z)而乙是由方程z=x+yg(z)所 确定的x、y函数,∫、g都有连续的导数, 求血,一, ax a 2012/2/22

2012/2/22 5 ( , ) 0 z z F x y y x    所确定，其中F 具有连续偏导数。 证明 z z x y z xy x y        例4、设 z = z (x, y) 由方程 求 ,,. u u du x y     例5、设 u = f (x, z) 而 z 是由方程 z = x + y g (z) 所 确定的 x、y 函数，f 、g 都有连续的导数

综合练习 、设u=e+sin(yz),其中z=z(x,y)是由方程 c0s2x+cos2y+cos2z=1所确定的隐函数, 求 Oy 2、设F(x,y)具有连续的偏导数吗,已知方程 F(x,y)=0,求t 2012/2/22

2012/2/22 6 综合练习 1、设 u e yz   xz sin( ) ，其中 z = z (x, y) 是由方程 2 2 2 cos cos cos 1 x y z    所确定的隐函数， 求 . u y   2、设 F (x, y) 具有连续的偏导数吗，已知方程 ( , ) 0 , x y F z z  求 dz