复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第二章 微分与导数 L'Hospital法则2.5

s5L’ Hospital法则 我们已经知道两个无穷小量、两个无穷大量 之比这类极限有的存在,有的则不存在,通常把 这一类极限称为“未定型”的极限。此类极限 不能直接运用“商的极限等于极限的商” 本节介绍的 Lhospital法则就是处理这类 不定型极限的有效方法

1 §5 L’Hospital 法则 我们已经知道两个无穷小量、两个无穷大量 之比这类极限有的存在，有的则不存在，通常把 这一类极限称为 “未定型” 的极限。此类极限 不能直接运用 “商的极限等于极限的商” . 本节介绍的 L’hospital 法则就是处理这类 不定型极限的有效方法

、不定型主要有以下几种形式 型 型、0·∞型 型 00型 型 型 其中型、一型为最基本的不定型, 其它不定型均可化为这两类不定型

2 一、不定型主要有以下几种形式 型、 0 0 型、 0 型、     型、 0 0 型、  0 型、 1  型， 0 0   其中 型、 型为最基本的不定型， 其它不定型均可化为这两类不定型

0 二、 L'Hospital法则。型 定理:设1)函数f、g在U(x内有定义,且 lim∫(x)=limg(x)=0 x→>xo x→>xo 2)在这个Ux内,∫、g存在(x除外), 且g'(x)≠0 f'(x) 3)im x→xg(x) 存在(or∞) 则lim f(x) lim f(r) 存在(or) g(r) g(r) 3

3 二、L’Hospital 法则       型 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x     ( ) ( ) ( ) lim 0     or g x f x x x 存 在 定理： 0 设 1）函数 U( ) x f 、g 在 内有定义，且 0 U f g ( ) x 2）在这个 内，   、 存在（x0 除外）， 且 g x ( ) 0  0 ( ) lim ( ) x x f x  g x   3） 存在（or  ）， 0 ( ) lim ( ) x x f x  g x 则 

证 f(x)x≠x0 (x)x≠ 设f1(x) g1(x) 0 x= x Vx∈U(x0)x≠x0在[x,x上, f(x)81(x)满足 Cauchy中值定理 必存在一点5∈(x0,x),当x→x时,5→x f∫(x)f(x)-f(x)f'(4) g(x) g(x)-g(xo) 8(5) f(x),∫(4) m im x-x0 g (x) 5)0 g(5)x-x0 8(x)

4       0 0 1 0 ( ) ( ) x x g x x x g x 0 0  xU(x ) x  x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 g x g x f x f x g x f x     ( ) ( )   g f    ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0    g f g x f x x x x       ( ) ( ) lim 0 g x f x x x     证：       0 0 1 0 ( ) ( ) x x f x x x 设 f x 在 [x0 , x] 上， 1 1 f x g x ( ) ( ) 、 满足 Cauchy 中值定理 0 ∴必存在一点  ( , ), x x 0 当 x x    x0 时

注意:1)定理的条件:分子分母都是无穷小 分子分母都可导,且分母的导数不等于0; 导数之比的极限存在或为∞; 2)定理的结论是: 函数之比的极限等于导数之比的极限 3)若limf(x) x-xog(x) 还是未定式,且∫(x)g(x) 满足定理中对f(x)、g(x)所要求的条件, 则可继续使用法则,直到不再是未定型为止 f(r) ∫(x Im m = lim x→x 0g(x) x→xg(x)x+xog"(x) 4)当x→∞(orx,x,+O,-∞)结论仍成立

5 注意： ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x           ( ) ( ) lim 0 g x f x x x 1）定理的条件：分子分母都是无穷小； 分子分母都可导，且分母的导数不等于0 ； 导数之比的极限存在或为  ； 2）定理的结论是： 函数之比的极限等于导数之比的极限； 0 ( ) lim ( ) x x f x  g x   3）若 还是未定式，且 f x g x   ( ) ( ) 、 满足定理中对 f (x)、g (x) 所要求的条件， 则可继续使用法则，直到不再是未定型为止。 0 0 x or x x ( , , , )         4）当 结论仍成立

2-e-2x(0 例1、求lim x→>0-Siny √x+1-1 例2、求Iim x→0In(1+x)

6       0 0 0 2 lim sin x x x e e x x x      例1、求 0 1 1 lim ln(1 ) x x  x    例2、求

、 L HosPital法则型 定理:设1)函数∫、g在U(x1)内有定义,且 lim∫(x)=limg(x)=∞ x→x x→>x0 2)在这个Ux内,八、g存在(x除外) g(x)≠0 3) m∞(orx,x0,+∞,-0)结论仍成立

7 三、L’Hospital 法则         型 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x      0 定理：设 1）函数 U( ) x f 、g 在 内有定义，且 0 U f g ( ) x 2）在这个 内，   、 存在（x0 除外）， 且 g x ( ) 0  0 ( ) lim ( ) x x f x  g x   3） 存在（or  ）， ( ) ( ) ( ) lim 0     or g x f x x x 存 在 0 ( ) lim ( ) x x f x  g x 则  0 0 x or x x ( , , , ) 当         结论仍成立

In cot x 例3、求lm x→>0t+Inx 例4、求lim(1+x)x x→)+Q

8         0 lncot lim x ln x x 例   3、求 例4、求 1 lim (1 ) x x x  

例5、计算lim x (,p>0) x→+0 同理 lim/=0 x→+y 说明当x→+时,In月x,x4,e→+0 但它们趋于+∞的速度有快由慢。 y=量 依次是: 指数函数,幂函数,对数函数。 9

9  0   x x x ln lim   同理 说明 ln , , x x x e   当 x   时，    但它们趋于  的速度有快由慢。 依次是： 指数函数，幂函数，对数函数。 o x y y  lnx  y  x x y e   lim ( , 0) x x x e      例5、计算 

四、其他不定型的极限 通过适当的恒等变形将其化为基本型,再用 L’ Hospital法则来求极限 0.∞0型 ● 0·∞0→-·∞→一或0·→0 例6、求 lim In xin(1-x) x→1 10

10 四、其他不定型的极限        1 0 1 0 0 0 0 0 或      通过适当的恒等变形将其化为基本型，再用 L’Hospital 法则来求极限。 0  型 1 lim ln ln(1 ) x x x   例6、求 