复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第二章 微分与导数 求导运算2.2

§2求导运算 本节的中心问题是求各类函数的导数,即介绍 基本初等函数的求导公式,函数的四则运算求导, 复合函数的求导法则等。 初等远数/基本初等函数→>导数表 构成法 求导法则

1 §2 求导运算 本节的中心问题是求各类函数的导数，即介绍 基本初等函数的求导公式，函数的四则运算求导, 复合函数的求导法则等。 初等函数  导数表    基本初等函数 构成法  求导法则

、几个初等函数的导数 用导数的定义求出一些基本初等函数的导函数 步骤 1)求增量Δ=∫(x+Δx)-f(x) 2)算比值4=(x+Ay)-fx) △ 3)求极限y=lim △x→>0△x 常数f(x)=C→f(x)=0 证:∵:f(x+A)-f(x)=C-C=0 △ f(x)=lim f(x+Ax)-f(x)=0 △x→>0

2 一、几个初等函数的导数 y  f (x  x) f (x) 步骤: x f x x f x x y        ( ) ( ) x y y x      0 lim 用导数的定义求出一些基本初等函数的导函数 1）求增量 2）算比值 3）求极限 1、常数 f (x) = C  f (x)  0 证： x f x x f x  (   )  ( )  x C C     0 x f x x f x f x x          ( ) ( ) ( ) lim 0  0

2、幂函数f(x)=x",n∈N+→f(x)=nxn 证:f(x)=mi(x+△x)-f(x) △v→>0 △ lin(x+arth △x→>0 △ x"+nx-△x+ lim 2n-2△x2+…+r /(n- △v→>0 △x =nx"+limo(△x) = 3

3 ( ) , n f x x n N   x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0  x x x x n n x        ( ) lim 0 x x x x x n n x n x x n n n n n x                1 2 2  0 2 ( 1) lim lim ( ) 0 1 nx o x x n       1  n nx 1 ( )     n 2、幂函数 f x nx 证：

3、指数函数∫(x)=e→f(x)=e2 证:∵∫(x)=lim f(x+△x)-∫(x) △→0 △ x+△x e e Im △x→0△x △v lime △v

4 ( ) x f x e  x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0  x e e x x x x      0 lim x e e x x x        1 lim 0  1 x e x  e ( e 1 ~ x) x   x 3、指数函数  f (x)  e 证：

4、正弦函数∫(x)=sinx→f(x)=cosx 证:∵:∫(x)=lim f(x+△x)-f(x) △v→0 △y sin(x+△x)-sinx m △x→0 △ 2sin。cos(X+) m △x→>0 △ △y SIn 2 △ m coS(x+ △x→>0△ cos x

5 f x x ( ) sin  x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0  x x x x x        sin( ) sin lim 0 x x x x x        ) 2 cos( 2 2sin lim 0 ) 2 cos( 2 2 sin lim 0 x x x x x          cos x 4、正弦函数  f (x)  cos x 证：

、四则运算的求导法则 定理:设∫和g均是可导函数,a,是常数, 则1.(g+B)=(af)+()=f+B′ 2.(g)=fg+g 3() fg-fg (g≠0 证:1、2略 证:3设()sf(x) (g(x)≠0) g(x)

6 二、四则运算的求导法则 1.(f  g)  (f )  (g) f   g  2.( fg)  f  g  fg  3. ( )  g f (g  0) 2 g f  g  fg  定理：设 f 和 g 均是可导函数，  , 是常数， 则 证：1、2 略 证：3 设 ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x F x g x g x  

f(x+△x)f(x) F(x+△x)-F(x) (x)=lim △x→>0 △v sWm(x+△x)g(x) △v→0 =limf(x+△)g(x)-f(x)g(x+△) g(x+△x)g(x)△ lim f(x+△x)-f(x)kg(x)-f(x)g(x+△x)-g(x △→0 g(x+△x)g(x)△x f(x+△x)-f(x) lim △ 8(x)-8(x+△x)-g(x △ △x→0 g(x+△x)g(x) f(rg(x)-f(xg()

7 x F x x F x F x x         ( ) ( ) ( ) lim 0 x g x f x g x x f x x x          ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 g x x g x x f x x g x f x g x x x            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0     g x x g x x f x x f x g x f x g x x g x x              ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 g x x g x x g x x g x g x f x x f x x f x x                 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f  x g x  f x g  x 

推论: ∑f(x)=∑f(x) 2.[Cf(x)=C(x) 3./xy=f(x)(x)…f(x) +…+f(x)f2(x)…f(x) ∑∏fx)(x) i=1k=1 k≠i

8 1. [ ( )] 1    n i f i x 2. [Cf (x)] 1 1 ( ) ( ) n n i k i k k i f x f x        3. [ ( )] 1    n i f i x ( ) ( ) ( )  f1 x f2 x  fn  x    n i f i x 1 ( )  Cf (x) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x  n   推论：

例1、y=3ex+x2sinx求y 例2、求 的导数,m∈N+

9 2 3 sin x 例1、 y e x x y   求  例2、求 的导数， 1 m m N x  

三.复合函数求导的链式法则 定理:(链式求导法则) 如果函数q在x0处可导,函数f在u0=q(x) 处可导,则复合函数∫°([(x)在x处 可导,且(f°g)(x0)=f(un)(x0) 用微商记号 中ytya dx du dx 注意:不要与导数的乘积混淆

10 三.复合函数求导的链式法则 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f u x       dx du du dy dx dy  定理：（链式求导法则） 0  x 0 0 如果函数 在 处可导，函数 f 在 u x  ( ) 处可导，   0 则复合函数 f f x x   ( ( ) ) 在 处 可导，且 用微商记号 注意：不要与导数的乘积混淆