复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第一章 极限与连续 数列的极限1.2

§2数列的极限 高等数学中极限是一个重要的概念。因为高等 数学中的一些重要概念如:微分、积分、级数等, 都是以极限为理论基础的

§2 数列的极限 高等数学中极限是一个重要的概念。因为高等 数学中的一些重要概念如: 微分、积分、级数等， 都是以极限为理论基础的

数列的概念 、概念的引入 R 圆内接正多边形 正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 正6×2n1边形的面积An 1429439 々9· {4n}→A(n→∞)

一、数列的概念 1、概念的引入   A1 A2 R A1 , A2 , A3 ,  , An ,  A  A(n  ) n 圆内接正多边形 正六边形的面积 正十二边形的面积 1 6 2n 正  边形的面积 A n

2、定义:按照某一法则得 第一个数x1 第二个数x2 第n个数xnn∈N+ 依次排列着,这列有序的数 称为数列 记为{xn} 其中每个数称为数列的项, xn称为数列的通项(或一般项)

…… 1 2 , , , , n x x x 2、定义: 按照某一法则得 1 第一个数 x 2 第二个数 x n x n N 第 n 个数  依次排列着，这列有序的数： 称为数列。 记为 xn  其中每个数称为数列的项， x n 称为数列的通项(或一般项)

例如 248 2 1+(-1) 31 +(-1)2 注意:在几何上,数列可看作数轴上的一个动点。 x 1+(-1)2 l+(-1)20 3 3 2

, ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1  n  : 1 ( 1) 2         n n       , 1 ( 1) 2 , 3 1 , 2 3 1, n n }: 2 1 { 例如： n 注意: 在几何上 , 数列可看作数轴上的一个动点。 1 x 2 x3 x 4 x n x }: 2 1 { n 1 2 n 1 0 8 1 4 1 2 : 1 ( 1) 2         n n 1 3  3 1 4 0 3 2 1 ( 1) 2n n  

{xn}也可看作直角坐标系上:{(n,x,)n=1,2,} ∫1+(-1)2

xn  也可看作直角坐标系上：  ( , ) 1, 2, n x n n   }: 2 1 { n xn n 0 : 1 ( 1) 2         n n xn 0 n

需要讨论的是: 当n无限增大时,(n→>+∞), 对应的xn=∫(m)是否能无限接近于某个确定的 数值,如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时, 无限接近于0 2 1+(-1)"2 无限接近于0

需要讨论的是： 当n无限增大时， (n   ), x f (n) 对应的 n  是否能无限接近于某个确定的 数值，如果是，如何确定? 通过上面演示实验的观察： 当n无限增大时， n n x 2 1  无限接近于0 ； n x n n 1 (1) 2  无限接近于0

就上例而言: 0 2 2 给定 1由4100要>2,有kx 100 2 100 给定 1000 只要n>时,有xn0,,时,有xn-0< 10000

0 2 1  0   n n  x 100 1 给定 100 1 2 1  由 n , lg2 2 只要 n  时 100 1 有 xn  0  1000 1 给定 , lg2 3 只要 n  时 1000 1 有 xn  0  10000 1 给定 , l g2 4 只 要 n  时 10000 1 有 xn  0  n 2 1  就上例而言：

1、定义 如果对于任意给定的正数E(无论多么小), 总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xn, 不等式xn-A0) 如果数列没有极限,则是发散的

1、定义: 如果对于任意给定的正数  (无论多么小)， 总存在正整数N ，使得对于 n > N 时的一切 xn ， 不等式 x A n   都成立， 那么就称常数 A 是数列 xn  的极限 , 或称为数列   收敛于 A . xn 记为 xn A n   lim or x  A(n  ) n 如果数列没有极限, 则是发散的

"E-N"定义: VE>0,彐N>0,3当n>N时, 恒有xn-A<6 n 注意:1)“正数E可以任意给定”; 2)正整数N与任意给定的正数E有关; 3)limx,=A分x=A+Enn∈N+ n→0 当n充分大时,{en}→0 返回

lim n n x A       0,   N 0, " "   N 定义：   当 n N 时， n 恒有 x A   注意: 1 ）“正数  可以任意给定”； 2）正整数 N 与任意给定的正数  有关； lim . n n n n x A x A n N     3）      当n 充分大时，   0 n   返回

几何解释: 28 4-E 4+ X2 1 XN+1 A N+2 极限运算已经不是有限运算了,它叩开了无 穷运算的大门,我们即将迈入无穷的王国,将有 许多瑰丽的景色期待着我们

几何解释: x x2 x1 xN 1 xN 2 x3 2 A  A  A 极限运算已经不是有限运算了，它叩开了无 穷运算的大门，我们即将迈入无穷的王国，将有 许多瑰丽的景色期待着我们