复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第九章 级数 9.1 数项级数

第宄章级数

1 第九章 级数

§1数项级数 级数是研究函数的表示、性质及进行数值计算 的一种工具。是以极限理论为基础的 向题的提出 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积S1+S2 正3×2”形的面积S1+S2+S3 4=S,十S+…S+ 33 3 3 2、 十 十 … 3101001000 10

2 §1 数项级数 一、问题的提出 级数是研究函数的表示、性质及进行数值计算 的一种工具。是以极限理论为基础的。 1、计算圆的面积 R 正六边形的面积 1 s 正十二边形的面积 1 2 s s  正 32 n 形的面积 1 2 3 s s s   A s s s      1 2 n 1 3 3 3 3 2 3 10 100 1000 10n 、      

悖论:从“正确”的前提出发,经过“正确”的推理, 得出矛盾或荒谬的结论。如: “万物皆数”学说认为“一切都可以归结为整数 及整数比”,这是“正确”的前提。 根据勾股定理及逻辑推理,边长为1的正方形 的对角线之长却不能表示为整数的比 这是“正确”的推理,但结论却是与前提互相矛盾。 芝诺悖论:(之一) 阿基里斯( Achilles)追不上乌龟 阿基里斯是古希腊传说中跑得很快的神,而乌龟 是爬得很慢的动物。芝诺却说,他可以证明,如果让 乌龟先爬出一短距离,那阿基里斯永远也追不上乌龟

3 悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的推理， 得出矛盾或荒谬的结论。 如： “万物皆数”学说认为“一切都可以归结为整数 及整数比”，这是“正确”的前提。 根据勾股定理及逻辑推理，边长为 1 的正方形 的对角线之长却不能表示为整数的比。 这是“正确”的推理，但结论却是与前提互相矛盾。 芝诺悖论：（之一） 阿基里斯（Achilles）追不上乌龟 阿基里斯是古希腊传说中跑得很快的神，而乌龟 是爬得很慢的动物。芝诺却说，他可以证明，如果让 乌龟先爬出一短距离，那阿基里斯永远也追不上乌龟

芝诺的证明如图 100 10,1,10 问题出在哪里? A3 分析:阿基里斯追上乌龟所走过的路程为 S=100+10+1+—+…+— 10 10 记S.=100+10+1+—+… 110+ 10 10 10″ 当n→∞越来越大时,sn越来越接近s, 10 1000 1000 当n→∞0时, lim sn9s=9

4 芝诺的证明如图 100 A1 10 A2 1 A3 A4 A n 1 10 问题出在哪里？ 分析：阿基里斯追上乌龟所走过的路程为 1 1 100 10 1 10 10n s        1 1 100 10 1 10 10 n n 记 s       1 1 10 110 1 1 10 n     1000 lim 9 n n s    当n→∞ 越来越大时，sn 越来越接近 s， 1000 ( ) 9 当n→∞ 时， s m 

、级数的概念 1、级数的定义 定义一般地,设給定一个数列x,x2,…,xn, 则式子x+x2+…十xn+… 一般项 称为无穷级数记为∑ n-=1 其中xn称为此级数的通项或一般项,1为级数的首项。 如果 灼为常数(一列实数),则称∑x为常数项裂数 H-=1 为画数,则称为画数项级数记为∑

5 一、级数的概念 1、级数的定义 1 2 n x x x     1 2 , , , , n x x x 1 n n x    定义 一般地,设给定一个数列 则式子 称为 无穷级数 记为 1 其中 xn 称为此级数的通项或一般项， x 为级数的首项。 一般项 如果 n x     均为常数(一列实数)，则称 1 n n x    为常数项级数 为函数，则称为函数项级数 记为 1 ( ) n n u x   

首先讨论常数项级数 定义级数的部分和(即前n项和) S=x+x2+…+x=∑xkk=1,…,n 定义 1)如果级数∑xn的部分和数列{Sn} nE 收敛于有限项S即 lim s=s n→0 则称级数∑x收敛且称它的和为,记为=∑ 2)如果级数∑xn的部分和数列{Sn}发散, n-=1 即Sn没有极限则称级数∑xn发散

6 首先讨论常数项级数 定义级数的部分和（即前 n 项和） S x x x n n     1 2 1 n k k x    k n  1, , 收敛于有限项 s 即 lim n n S s   定义 1）如果级数 的部分和数列 Sn  1 n n x    则称级数 收敛 且称它的和为 s . 1 n n x    记为 1 n n s x     2）如果级数 的部分和数列 Sn  1 n n x    发散， 即 Sn 没有极限 则称级数 发散。 1 n n x   

注意1)级数的余项 oo n+1 +xm2+…=∑ k=n+1 2)给定∑x,总可以按S=∑x n=1 k=1 求得其部分和数列{Sn} 3)反之给定的数列{Sn}, 可令 =S,-S, 2 19 n-19 从而求得∑xn =

7 注意 1）级数的余项 n n r s S   n n 1 2 x x    1 k k n x      2）给定 1 n n x    ， 总可以按 1 n n k k S x    求得其部分和数列   . Sn 3）反之给定的数列   , Sn 可令 1 1 x S  , 2 2 1 x S S   , 1 , n n n x S S     从而求得 1 . n n x   

例1、讨论几何级数的敛散性。 ∑mq"=a+mg+mq2+…+aq"+…(a≠0 解 <1 lims =lim a(1-q") q=1 由级数收敛定义得极限不存在q=1 当d<1时,级数∑ag”收敛; H=0 其和为 即∑a =0 oo 当≥1时,级数∑q”发散

8 例1、 讨论几何级数的敛散性。 解： lim n n S  (1 ) lim 1 n n a q  q           1 a  q q  1  q  1  q  1 极限不存在 q  1 ∴ 由级数收敛定义得 当 q  1 时， 级数 0 n n aq    收敛； 其和为 , 1 a  q 即 0 . 1 n n a aq q      当 q  1 时， 级数 0 n n aq    发散。 2 0 ( 0) n n n aq a aq aq aq a          

如∑ 3 n}几何级数,且收敛, ∑ 2 但首项不同 ∑ n-=0 2、3a=1 3 2 n 2 ∑ 3 2 3 2 3 3 9

9 如 0 2 3 n n          1 2 3 n n             几何级数,且收敛， 但首项不同 a  1 0 2 3 n n          1 2 1 3    3 2 3 a  1 2 3 n n          2 3 2 1 3    2

无穷级数收敛性举例:Koch雪花。 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对称 的产生边长为原边长的13的小正三角形 如此类推在每条凸边上都做类似的操作 我们就得到了面积有限而周长无限的图形 “Koch雪花” 观察雪花分形过程:

10 无穷级数收敛性举例：Koch雪花。 做法: 先给定一个正三角形，然后在每条边上对称 的产生边长为原边长的1/3 的小正三角形， 如此类推在每条凸边上都做类似的操作， 我们就得到了面积有限而周长无限的图形 —— “ Koch雪花 ”． 观察雪花分形过程：