复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第十章 常微分方程 10.1 常微分方程的概念

第十章常撒分方程

第十章 常微分方程 1

常微分方程是数学的一个重要分支, 以微积分为理论基础,运用相当广泛。 如:医学工程学、理论流行病学、生物统计学

常微分方程是数学的一个重要分支， 以微积分为理论基础，运用相当广泛。 如：医学工程学、理论流行病学、生物统计学。 2

§1常微分方程的概念 、问题的提出 细胞的生长: 假定一个细胞的质量是m,在一个理想的环境 中生长,它的质量是时间t的函数m=m( 当t=0时,m=m0,且细胞的生长速度与质量成 正比,即m am,a为确定的常数。 上式是一个既含未知函数m(1),又含未知函数导 数,的方程

§1 常微分方程的概念 一、问题的提出 假定一个细胞的质量是 m ,在一个理想的环境 中生长，它的质量是时间 t 的函数 m = m(t) ， 当 t = 0 时，m = m0 , 且细胞的生长速度与质量成 正比, 即 , dm am dt  细胞的生长: a 为确定的常数。 上式是一个既含未知函数 m(t) ，又含未知函数导 数 的方程。 dm dt 3

用积分的方法求解: adt →4-m=m=m+C, 任意常数 →m=enc→m()=Ce 当t=0时,m(0)=m,→m=C, →>m()=mne

用积分的方法求解: dm adt m     dm adt m     0 m m (0)     lnm at C at C m e     ( ) at   m t Ce 任意常数 0 m m (0) ,  0   m C , 0 ( ) at   m t m e 当 t = 0 时， 4

基本概念 微分方程:既含有未知函数,又含未知函数导数、 微分或偏导数的方程。 常微分方程:微分方程中的未知函数只是一个 自变量的函数的方程。 阶:微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数。 如 y=xy +2y-3y= z (t +x)dt+xdx=0, ar +y

二、基本概念 . z x y x     2 ( ) 0 , t x dt xdx   2 3 , x y y y e      微分方程: 既含有未知函数,又含未知函数导数、 微分或偏导数的方程。 如: y xy   , 常微分方程: 微分方程中的未知函数只是一个 自变量的函数的方程。 阶: 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数。 5

微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 微分方程的通解: 微分方程的解中含有任意的相互独立的常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。 即:一阶微分方程的通解中含一个任意常数,m(t)=Ce 二阶微分方程的通解中含二个任意常数, n阶微分方程的通解中含n个任意常数

微分方程的解： 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数。 微分方程的通解： 微分方程的解中含有任意的相互独立的常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。 即：一阶微分方程的通解中含一个任意常数， ( ) at m t Ce  二阶微分方程的通解中含二个任意常数， n 阶微分方程的通解中含 n个任意常数。  6

微分方程的特解 微分方程的不包含任意常数的解。 奇解:不在通解中的解。 初始条件:用来确定任意常数的条件。 n阶常微分方程的一般形式: F(x,y,y,…,y)=0 如果一个函数y=(x)在区间(a,b)上n阶可导, 且满足F(x,q(x),yp'(x),…,g((x)=0, 那么,称y=q(x)是该方程在区间(a,b)上的解 积分曲线一解的图形

微分方程的特解： 微分方程的不包含任意常数的解。 初始条件：用来确定任意常数的条件。 n 阶常微分方程的一般形式： ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y   且满足 如果一个函数 y x ( ) 在区间(a, b)上 n 阶可导， ( ) ( , ( ), ( ), , ( )) 0 , n F x x x x      那么，称 y x ( ) 是该方程在区间 (a, b)上的解。 积分曲线 --解的图形 奇解：不在通解中的解。 7

n阶线性常微分方程 an(x)y+a1(x)ym1)+…+an1(x)y+an(x)y=∫(x) 其中an(x),a1(x),…,an(x)为已知函数, 当∫(x)=0时,称该方程为齐次线性微分方程, 否则称为非齐次线性微分方程。 当a0(x),a1(x)…,an(x)为常数,a1,…,n, 则称ay+ay(")+…+any+any=f(x) n阶常系数线性微分方程

n 阶线性常微分方程: ( ) ( 1) 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n a x y a x y a x y a x y f x         其中 a x a x a x 0 1 ( ), ( ), , ( ) n 为已知函数， 当 f (x) = 0 时, 称该方程为 齐次线性微分方程， 否则称为 非齐次线性微分方程。 当 0 1 ( ), ( ), , ( ) n a x a x a x 为常数 0 1 , , , , n a a a ( ) ( 1) 0 1 1 ( ) n n n n a y a y a y a y f x   则称       n 阶常系数线性微分方程。 8

初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题。 y=f(x,y) 阶 过定点的积分曲线; y=f(x,y,y 二阶 x=x yo y x=x 0 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。 9

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题。 过定点的积分曲线； 0 0 ( , ) x x y f x y y y         一阶: 二阶: 0 0 0 0 ( , , ) x x x x y f x y y y y y y              过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。 9