复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第十章 常微分方程 10.2 一阶常微分方程

§2一阶常微分方程 一阶常微分方程的一般形式: dh f(,y) 其定解存在且唯一(有下面定理)

§2 一阶常微分方程 一阶常微分方程的一般形式： 0 0 ( , ) ( ) dy f x y dx y x y        其定解存在且唯一（有下面定理）

定理(解的存在与唯一性定理 df 如果∫(x,y)和(x,y)在矩形区域 {(x,y)|x-xl<a,y-yk<b}上连续, 那么存在一个0<h≤a,其定解在|x-x<h上 有唯一解y=(x),使得 q(x)=f(x,g(x),卯(x)=y·

定理（解的存在与唯一性定理）： 如果 f (x, y) 和 ( , ) 在矩形区域 f x y y   ( , ) | , x y x x a y y b     0 0  上连续， 那么存在一个 0 < h ≤ a , 其定解在 x x h   0 上 有唯一解 y = φ (x) , 使得   ( ) ( , ( )) , x f x x  0 0 ( ) . x y 

常见类型的一阶常微分方程的解法 变量可分离方程 一般形式"=g(x)h() 即∫(x,y)=g(x)h(y)x,p完全分离。 解法: 1)分离变量 小y 08(x)dx,l(y)≠0, 2)两边积分 dy=g(x) h(y) 此方程的通解(GS) H(y)=G(x)+C.C:任意常数 奇解l(y)=0

一、变量可分离方程 ( ) ( ) dy g x h y dx 一般形式  即 f x y g x h y ( , ) ( ) ( )  x, y 完全分离。 解法： 1) 分离变量 ( ) , ( ) dy g x dx h y  2) 两边积分 1 ( ) ( ) dy g x dx h y    H y G x C ( ) ( ) .   此方程的通解(GS): C : 任意常数 h y( ) 0 ,  奇解 h y( ) 0 .  常见类型的一阶常微分方程的解法

例1、求解常微分方程的定解问题: sInr yIn y dx e 例2、求微分方程的 x+a(y2+)通解 d x dx 例3、求微分方程∫()+g(x)x=0的通解

例1 、求解常微分方程的定解问题: sin ln 2 dy x y y dx y e                例2 、求微分方程的 通解。 2 ( ) dy dy dy x a y dx dx dx    例3、 求微分方程 f xy ydx g xy xdy ( ) ( ) 0   的通解

有限资源下单一群体自然增长模型( Logistic模型 群体增长的条件是复杂的,如细菌、物种、人口 增长等。如人口增长: 如果在有限生存资源下,能够维持人口生存的最大 总量(即饱和量)为Nn,则相对净增长率为1 N 则人口相对增长速率正比于N1 这时,描述人口增长的方程为 dN kN 1 dt N(t=No

总量（即饱和量）为 Nm ，则相对净增长率为 1 , m N N  如果在有限生存资源下，能够维持人口生存的最大 则人口相对增长速率正比于 1 ， m N N N        这时，描述人口增长的方程为 0 0 1 ( ) m dN N kN dt N N t N               有限资源下单一群体自然增长模型 （Logistic 模型 ） 群体增长的条件是复杂的，如细菌、物种、人口 增长等。如人口增长：

dN N =kNI 1 为可分离变量微分方程 dN kdt nt dn= kdt, N( N 两边同时积分得∫+N=4」 N InN-In(N -N)=kt+C,N-ne kt+C kt N(t0) N. C 05 n 有限资源下单一群体N(t)= m 自然增长模型为: N 1+ -k(t-to) 0

1 为可分离变量微分方程， m dN N kN dt N         , 1 m dN kdt N N N         , ( ) m m N dN kdt N N N   1 1 m dN k dt N N N          两边同时积分得   ln ln( ) , N N N kt C     m , kt C kt m N e Ce N N     0 0 N t N ( ) ,  0 0 0 , kt m N C e N N    0 ( ) 0 ( ) 1 1 m m k t t N N t N e N            有限资源下单一群体 自然增长模型为：

二、齐次方程 1、定义若对于任何τ≠0,有∫(vx,τy)=zf(x,y) 则称函数∫(x,y)为k次齐次函数, dh 此时的微分方程=f(x,y) 称为齐次微分方程。 齐次微分方程的一般形式:中_(y 2、解法作变量代换L= 即=X 小y u+x d dx =o(u)

1、定义 若对于任何   0 , ( , ) ( , ) , k 有 f x y f x y     ( , ) dy f x y dx 此时的微分方程  则称函数 f (x, y)为k 次齐次函数 , 称为 齐次微分方程。 齐次微分方程的一般形式: dy y dx x         2、解法 作变量代换 , y u x  即 y xu  , dy du u x dx dx    ( ) u 二、齐次方程

du (u)-u 可分离变量的方程 du 当q(u)-u:0时,→ p(u)-l了x 解出方程后再用4≤y厌入,即为原方程的通解。 注意分离变量时,若φ(u)-u=0时, =0→u=C ∴原方程的通解为y=Cx 若q(u)-u=0有根=a →y=x是原方程的一个解

du u u ( ) dx x   即  可分离变量的方程 当 ( ) 0 u u   时， ( ) du dx  u u x      解出方程后再用 代入, y u x  即为原方程的通解。 注意 分离变量时, 若 ( ) 0 u u   时， 0 du dx     u C ∴原方程的通解为 y Cx  . 若 ( ) 0 u u   有根 u a   y ax 是原方程的一个解

例4、求解微分方程(x+ycos)h- x cos2dy=0 例5、求解微分方程(1+e)ydx+(y-x)小=0 结论 利用变量代换变为可分离变量的微分方程。 例6、若曲线上任一点处的切线在y轴上的截距等同 于同点处法线在x轴上的截距求该曲线的方程三

例4、 求解微分方程 ( cos ) cos 0 . y y x y dx x dy x x    例5、 求解微分方程 (1 ) ( ) 0 . x y e ydx y x dy      结论 利用变量代换变为可分离变量的微分方程。 例6、 若曲线上任一点处的切线在 y 轴上的截距等同 于同点处法线在x 轴上的截距,求该曲线的方程

中_a1x+by+ 3、形如 (大)的微分方程, dx a,x+b,y+ 1)当G1=C2=0时,即为= 的齐次方程 2)当c1,C2不全为零时, x=X-5 ①若 ≠0时,作变换 y=r-n 中dYa1X+bY-(a+b 代入(大)== -c1) dx dX 2X+b2r-(a,5+b,n-C2 从线性方程組/15+bn=c、解出5,7 a25+b2=C2

1 1 1 2 2 2 dy a x b y c dx a x b y c      3、形如 1) 当 时, 1 2 c c   0 即为 的齐次方程； dy y dx x         2) 当 不全为零时, 1 2 c c, ① 若 时, 1 1 2 2 0 a b a b  作变换 x X y Y          (＊) 的微分方程， 代入(＊) dy dY dx dX  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a X bY a b c a X b Y a b c              从线性方程组 1 1 1 2 2 2 a b c a b c            解出  ,