中国矿业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 方差分析

方差分析

方差分析

1引例 例1假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分 布,并且原料差异只影响平均寿命,不影响方差σ2。 现用三种不同来源的材料各试生产了一批电子管。 从每批中各抽取若干只做寿命实验,得数据如下表。 材料批号 寿命测定值(单位:小时) 123 1600161016501680170017001800 15801640164017001750 14601550160016201640166017401820 试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异?

例1 假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分 布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差 。 现用三种不同来源的材料各试生产了一批电子管。 从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。 2  试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？ 材料批号 寿命测定值（单位：小时） 1 2 3 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1800 1580 1640 1640 1700 1750 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 1.引例

例2设对四种玉米品种进行对比实验,每个品 种都在同一块田的五个小区各做一次实验,实 验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平 均产量是否有显著影响? 品种 产量(斤/小区) A 32.334034.335036.5 33.333.0 36.3 36.8 34.5 A 30.8 34.3 35.332.3 35.8 29326029828.0 29.8

例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品 种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实 验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平 均产量是否有显著影响？ 品种 产量（斤/小区） 32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8 34.5 30.8 34.3 35.3 32.3 35.8 A 1 A2 A 3 A 4 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8

类似问题 高等数学、线性代数、数理统计等许多基础课实行选课制, 如何认定主讲教师对学生成绩有一定影响? 假定:张老师的学生平均72李老师的学生平均成绩718, 王老师的学生平均成绩709, 能否说明三位老师的教学水平有差异? 根据假设检验的原理,即检验A=H2=%? 解决此类问题:1是重复检验,2是方差分析

类似问题 高等数学、线性代数、数理统计等许多基础课实行选课制， 如何认定主讲教师对学生成绩有一定影响？ 假定：张老师的学生平均72.5,李老师的学生平均成绩71.8, 王老师的学生平均成绩70.9, 能否说明三位老师的教学水平有差异? 根据假设检验的原理，即检验 1 2 3    ＝ ＝ ？ 解决此类问题：1是重复检验，2是方差分析

在实践中,影响一个事物的因素往往是很多的, 人们总是要通过试验,观察各种因素的影响,例如, 不同型号的机器,不同的原材料、不同的技术人员 以及不同的操作方法等等,对产品的产量、性能都会有 影响。当然,有的因素影响大,有的因素影响小, 有的因素可以控制,有的因素不能控制。如果从多种 可控制因素中找出主要因素,通过对主要因素的控制, 调整,提高产品的产量、性能,这是人们所希望的,解 决这个问题的有效方法之一就是方差分析

在实践中， 人们总是要通过试验，观察各种因素的影响，例如， 不同型号的机器，不同的原材料、不同的技术人员 以及不同的操作方法等等，对产品的产量、性能都会有 影响。当然，有的因素影响大，有的因素影响小， 有的因素可以控制，有的因素不能控制。如果从多种 可控制因素中找出主要因素，通过对主要因素的控制， 调整，提高产品的产量、性能，这是人们所希望的，解 决这个问题的有效方法之一就是方差分析。 影响一个事物的因素往往是很多的

前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标, 他们受因素的影响,因素的不同状态称为水平,一个因素 可采取多个水平 统计学上,不同的因素,不同的水平可以看作是不同的总体。 通过观察可以得到试验指标的数据,这些数据可以看成 从不同的总体中得到的样本数值

前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标， 他们受因素的影响，因素的不同状态称为水平，一个因素 可采取多个水平。 通过观察可以得到试验指标的数据，这些数据可以看成 从不同的总体中得到的样本数值。 统计学上，不同的因素，不同的水平可以看作是不同的总体

单因素试验的方差分析 一、总平方和的分解 二、统计分析

二、统计分析 一 、总平方和的分解 单因素试验的方差分析

数学模型 设在试验中,因素4有S个不同水平A,A2…A 在水平下的试验结果X~N(4,o2)j=1,2,,s) 其中和a2是未知参数。在水平下作次独立实验, 其结果如表1所示

设在试验中，因素A有S个不同水平 1 2 , ,..., , A A A s 在水平下的试验结果 2 ~ ( , )( 1,2,..., ) X N j s j j   = 。 其中 和 是未知参数。在水平 下作 次独立实验， 其结果如表1所示。  j 2  Aj j n 数学模型

水平 序号 样 A A, 本 11 X X X X 31 X 样本均值 X

1 2 3 i n X X X 11 12 1s X X X 21 22 2s X X X 31 32 3s X n1 1 s X n s 样本均值 X j 2 X n 2 X.1 X.2 X.s 序号 样 本 水平 A1 A2 A s

X,X2…,Yn,是来自总体X,的容量为n的 个样本,其观察值为x1,x只…xn 要判断因素的各水平间是否有显著差异,也就是 要判断各正态总体的均值是否相等,即检验假设 2 H1:A1,2,…4,不全相等 由于X相互独立,且 X~N(22)i=1,2,,n=12…S 若记6n=X-H1(=1,2,…,n1;j=1,2… 则En~N(0,a2),且相互独立

是来自总体 的容量为 的 一个 样本，其观察值为 1 2 j X X X j j n j ， ， ， X j j n 0 1 2 : H    = = = s 1 1 2 : , , , , H   s 不全相等 (1) 由于 Xij 相互独立，且 2 ~ ( , ) X N ij j   1,2,..., ; 1,2, , j i n j s = = 若记 则 ( 1,2, , ; 1,2, , )   ij ij j j = − = = X i n j s 2 ~ (0, ),   ij N 且相互独立 要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是 要 判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设 1 2 j j j n j x x x ， ，