中国矿业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说,要从 随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机 现象

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从 随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机 现象. 第五章 大数定律与中心极限定理

研究大量的随机现象,常常采用极限 形式,由此导致对极限定理进行研究.极 限定理的内容很广泛,其中最重要的有两 种 大数定律与中心极限定理 下面我们先介绍大数定律

研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律

第五章 第一节 大数定律 切比雪夫 Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律

大数定律 第五章 第一节 一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律

预备知识: 定义1对随机变量序列X1,2,…n,如果存 在常数a,使得对于任意ε>0,有: lim PXn-ak8=l n→>0 则称X依概率收敛于a,记为ⅩPa n

定义1 ,有: 对随机变量序列 1 2 , , , X X X n ，如果存 在常数 a ，使得对于任意 则称 依概率收敛于a ，记为 预备知识：

命题(切比雪夫 Chebyshev不等式) 设随机变量X的数学期望E(X)=和方差DX=a2 存在,则对任意ε>0,有 PIX-E(X2E D(X) 2 等价瓶式:P{X-B(X)e}1D(X) 比雪夫,Ⅱ 2切比雪夫 则称此式为切比雪夫不等式。 证明设X为连续型(离散型类似),其密度为f(x)

等价形式：   0 , 2 ( ) {| ( ) | } D X P X E X   −   2 ( ) {| ( ) | } 1 D X P X E X   −   − 有 则称此式为切比雪夫不等式。 存在，则对任意 证明 设 X 为连续型（离散型类似），其密度为 f x( ) 2 设随机变量X 的数学期望 E X D X ( ) = =   和方差 （ ） 命题 (切比雪夫Chebyshev不等式） 切比雪夫

则P{X-E(Y)E}= f(xdx x-E(X)≥E L-e(X) 2-f(x)dx x-E(XI 1 x-E(X)≥E +0 ≤3」[x-E(X)2f(x)x D(X) 注: Chebyshev不等式对随机变量在以E(X为中心 的一个领域外取值的概率给出了一个上界 D(X)

2 2 | ( )| [ ( )] ( ) x E X x E X f x dx   −  −   则 | ( )| {| ( ) | } ( ) x E X P X E X f x dx   −  −  =  2 2 1 [ ( )] ( ) x E X f x dx  + −  −  2 2 [ ( )] 1 x E X  −  2 D X( )  = 注：Chebyshev不等式对随机变量在以 E X( ) 的一个ε领域外取值的概率给出了一个上界 2 ( ) . D X  为中心

例1一电网有1万盏路灯,晚上每盏灯开的概率为07, 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少? 解:设X为同时开的灯数。X~b(100.7 由二项分布E(X)=nD=7000D(X)=npg=2100 200 P680X<7200=∑ C0.7^0.30-k 10 k=6800 用切比雪夫不等式 P{6800<X<7200} =P6800-7000<X-7000<7200-7000} =P(X-7000×200121 2100 =0.95=200 200

例1 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7， 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少? 解： 设X 为同时开的灯数。 4 X b ~ (10 ,0.7) 由二项分布 P X {6800 7200}   用切比雪夫不等式 P X {6800 7200}   4 7200 10 10 6800 0.7 0.3 k k k k C − = =  = −  −  − P X {6800 7000 7000 7200 7000} = −  P X{ 7000 200} 2 2100 1 0.95 200  − =  = 200

例2已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数 平均是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 解设每毫升白细胞数为X 依题意,EX=7300,DX=7002所求为 P{5200≤X≤9400} =P{5200-7300≤X-7300≤9400-7300} =P{2100≤X-EX≤21009=P{X-EX|2100 由切比雪夫不等式 PX-EH≤2100}1D(X) 700 8 (2100) 2100 即每毫升白细胞数在5200-9400之问的概率不小于8/9

已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 解 设每毫升白细胞数为X 依题意，EX =7300, DX =7002 所求为 = −  −  P X EX { 2100 2100} 2 (2100) ( ) 1 D X  − 由切比雪夫不等式 P X EX { 2100} −  9 8 9 1 = 1− = = −  P X EX { 2100} = −  −  − P X {5200 7300 7300 9400 7300} P X {5200 9400}   估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 . 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式 例2 2 ) 2100 700 = 1− ( 即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9

大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币 正面出现频率产过程中的字母使用频率 废品率

大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 字母使用频率 废品率

几个常见的大数定律 定理1(切比雪夫大数定律) 设X,2,…是一列相互独立的随机变量序列, 它们都有相同的数学期望E(X)=和方差D(X=a2 n2x-→ 即对任意的>0,imP∑X-ke}=1 n→>c 1 证明E(∑X)=∑E(X)=∑A= i=1

几个常见的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律） 1 1 lim {| | } 1 n i n i P X n   → =  −  = 则 即对任意的ε> 0， 设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列， 它们都有相同的数学期望 2 ( ) E X D X i i = =   和方差 （ ） 1 1 . n P i i X n  =  ⎯⎯→ 证明 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n i i i i i E X E X n n n   = = =    = = =