中国矿业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 随机样本（2/2）

§6.2统计量与抽样分布 统计量与抽样分布的概念 由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行 “加工”,这就要构造一些合适的依赖于样本的函数, 它把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量 它是完全由样本决定的量

它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来 . 统计量与抽样分布的概念 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. §6.2 统计量与抽样分布 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行 “加工” ，这就要构造一些合适的依赖于样本的函数， 它是完全由样本决定的量

定义1设 X1,X2…,X是来自总体X的一个样本, g(X1,X2…,Xn)为一实值连续函数,其不包含任何 未知参数,则称g(X12X2…,Xn)为一个统计量。 g( X.X 12 x)为g(X12X2…,Xn)的观测值 注:g(X12X2…2Xn)是随机变量的函数仍为随机变量。 g(x,2x2,…,xn)便是一个数

定义1 设 ( , , , ) g X1 X2  Xn X X Xn , , , 1 2  是来自总体X的一个样本， 为一实值连续函数， 其不包含任何 未知参数，则称 ( , , , ) g X1 X2  Xn 为一个统计量。 ( , , , ) 1 2 n g x x  x 为 ( , , , ) g X1 X2  Xn 的观测值。 注： ( , , , ) g X1 X2  Xn 是随机变量的函数仍为随机变量。 ( , , , ) 1 2 n g x x  x 便是一个数

例如总体X~M(o2).H1,X2,…,X是一个样本, 则2X1+X2X2X2∑X均为统计量。 X1-2X2+ a2当未知时,均不是统计量。 当σ已知时,其为统计量

例如 总体 是一个样本， 则 均为统计量。 当 未知时，均不是统计量。 当 已知时，其为统计量

下面介绍几个常见统计量 设Y122,…,Xn是来自总体X的一个样本, 1、样本均值ⅹ=SX 它反映了总体X取值的平均值的信息常用来估计E 2、样本方差S2=1 ∑(Xk-X)2 Xk-nX) 它反映了总体方差的信息。 样本标准差:S==∑(X,-x)2

下面介绍几个常见统计量 1、样本均值 2、样本方差 = = n k Xk n X 1 1 = − − = n k Xk X n S 1 2 2 ( ) 1 1 设 X X Xn , , , 1 2  是来自总体X的一个样本， 它反映了总体X取值的平均值的信息，常用来估计EX. 2 2 1 1 ( ) 1 n k k X nX n = = − −  它反映了总体方差的信息。 = − − = = n i Xi X n S S 1 2 2 ( ) 1 1 样本标准差：

3、样本k阶原点矩4=∑Xk=1,2…n 它反映了总体k阶矩的信息 4、样本6阶中心矩B=∑(X1-X)k=1,2… 1= 它反映了总体k阶中心矩的信息。 它们的观察值分别为: x=-)x 2 2 2 n-1 L= 「

3、样本k 阶原点矩 4、样本k阶中心矩 1,2, , . 1 1 X k n n A n i k k =  i =  = ( ) 1,2, 1 1 =  − = = X X k n B n i k k i 它反映了总体k 阶矩的信息。 它反映了总体k 阶中心矩的信息。 = = n i i x n x 1 1 [ ] 1 1 ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2   = = − − − = − = n i i n i i x nx n x x n s 它们的观察值分别为：

∑(x-x)2 k二 ∑x,k=12 12 k X-X ),k=1,2 分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、 样本k阶矩、样本k阶中心矩。 统计量是样本的函数,它是一个随机变量, 统计量的分布称为抽样分布

= − − = n i i x x n s 1 2 ( ) 1 1 , 1,2 1 1 =  = = x k n a n i k k i ( ) , 1,2 1 1 =  − = = x x k n b n i k k i 分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、 统计量是样本的函数，它是一个随机变量， 样本k阶矩、样本k阶中心矩。 统计量的分布称为抽样分布

结论:设X1,Xn为来自总体X的一个样本, EX=u, DX=O 则(1)EX=,DX=0-.(2)E(S)=0 (3)n→∞X-S2-a2

则 2 (1) , . E X DX n  = =  结论：设 为来自总体 的一个样本， (2) ( ) . 2 2 E S =

2 (1)EX=,DX= n 证1、由于X…是独立同分布的随机变量, 且EXk=EY=DX=DX=a2k=12,…,n EX ∑ EX k u= u k=1 DF I 2 ∑ )0 DX k k=1

X X Xn , , , 证 1 、 由于 1 2  是独立同分布的随机变量， EXk = EX =  1,2, , . 2 DX k = DX =  k =  n  =  =  =  = n n EX n EX n k k 1 1 1 n n n DX n DX n k k 2 2 2 1 21 1  =  =  = = 且 2 (1) , . E X DX n = = 

(2)E(S2)=a2 E(2)=En12(Xx-x) n k=1 = EL E∑Xk-nX2 n-1 k ∑Xk-n2)=m-1 k=1 n-1 ∑E(X2)-nE(X2 K=1 C(o2+2)-n(+2) 2 n

2 1 1 [ ( ) ] 1 n k k E X X n = = − −  2 2 (2) ( ) . E S =  2 2 1 1 [ ( )] 1 n k k E X nX n = = − −  2 2 1 1 [ ] 1 n k k E X nX n = = − −  n 2 2 k K =1 1 ( E(X ) - nE(X )) n - 1 =  2 2 1 1 ( ( ) 1 n n K   = = + −  2 2 n( )) n  − + 

正态总体的抽样分布

正态总体的抽样分布