陕西科技大学：《线性代数》课程教学资源（例题讲解PPT）第二章 矩阵及其运算

例1.计算:A n n n n n×n 1 n n-1-1L 解 1n-1L LL 1 n nn

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n  − − − − − − = − − − −             A L L L L L L 例1. 计算： 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − − − − − − − = − − − − − − −                         L L L L L L L L L L L L L 解：

L ?, 1) LLLL 1) L L

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − = − − −   − − −   − − − =   − − −   − − −   − − − = = − − −         A L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L

例2.设A B 满足2A+X=B-2X,求X 解:X=(B-2A) 3(556)-(23)

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 8 2 6 4 3 5 5 3 4 2 2 1 1 6 6 6 2 2 2 ( 2 ) 3 3 6 1 1 2 3 3 2 − = = + = − = − = = − − − − − − A B A X B X X X B A 设 ， ， 满足 ，求 例 . 解：

101 例3求020(k=1,2,L) 001 10 100 001 解:设C=020,A=020,B=000 00 00 000 则C=A+B,由于AB=BA,B2=O C=(A+B)=A+CLA B+CLAB+L +B 4+C4B 100 00/00 10k 02k0+k02k10000|=02k0 001 00 000)100

1 0 1 0 2 0 ( 1,2, ) 0 0 3 1 . k k     =     例 求 L 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 O ( ) 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k C C C k − − − −             = =       = + = =  = + = + + + + = +      = +             C A B C A B AB BA B C A B A A B A B B A A B L 解：设 = ， ， 则 ，由于 ， 1 0 0 2 0 0 0 1 k   k  =        

5-10 例4设A=-231,C=20,且满足 2-16 AX=C+2X,求X 解:由于AX=C+2X→(4-2E)X=C 3-10 而A-2E=-211且A-2E|=5≠0,所以A-2E 3-10 可逆,故X=(A-2E)C=-21 54 1012-320|=5-1 0 35

5 1 0 2 1 2 3 1 2 0 2 1 6 3 5 4 2 .     − = − =             − = + A C AX C X X 例 设 ， ，且满足 ，求 . 1 1 2 ( 2 ) 3 1 0 2 2 1 1 | 2 | 5 0, 2 2 1 4 3 1 0 2 1 ( 2 ) 2 1 1 2 0 2 1 4 3 5 5 4 1 2 1 3 0 1 10 12 3 2 0 5 1 5 0 1 1 3 5 1 1 − − = +  − =   − − = − − =  −       −     − = − = −            −      − = − = −           AX C X A E X C A E A E A E X A E C 由于 而 且 所以 可逆，故 解：

例5.设A=-111,且满足AX=A1+2X,求X 01 解:设A 则A=2110,|A=4 011 由AX=A+2X→(A-2E)X=A 00 010 而A'-2E=2100,(A-2B)-2100 001 010 01 110 0,X=(4-2E)A 01 10

* 1 111 5 1 1 1 2 . 111 −   − = − = +       − 例 .设A A X A X X ,且满足 ，求 * * 1 * 1 * * 1 1 * 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 0 4 1 1 1 0 1 1 2 ( 2 ) 0 0 1 0 1 0 1 2 2 1 0 0 2 ) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 ) 0 1 1 . 2 4 0 1 1 1 0 1 − − − − − −     − = − = =         − = +  − =     − = − =             = = − =         A A A A X A X A E X A A E A E A X A E A 设 ,则 ，| | 由 而 ，( ， ( 解：

例6.设A b ()试将()=1E=4写成 λ的多项式,并验证f(4)=O 解:f()=ZE-A b 元-d a-(a+d)n+ad-bo 由此得f(A)=A2-(a+d)A+(ad-bc)E a+bc ab+ bd ac +cd bc+d2 a+ (ad-bc 01_(00 00 O

( ) , ( ) ( ) O. a b f c d f    = = − = A E A A 设 试将 写成 的多项式，并验证 例6. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 ( ) O 0 1 0 0 a b f c d a d ad bc f a d ad bc a bc ab bd a b a d ac cd bc d c d ad bc       − − = − = − − = − + + − = − + + −   + + = − +     + + + − = = E A 由此得 A A A E 解：

例7.解矩阵方程AX=B,XA=B,AXB=C,其中A、 B均为可逆矩阵 解:解矩阵方程时,应注意已知矩阵与X的位置关 系例如解AX=B,要先考察A是否可逆(这个过程 可以不写出),只有A可逆时才可解这个矩阵方程, 这时将方程两边同时左乘A,得 AAX=AB,即X=AB 而不能右乘A,因为矩阵的乘法不满足交换律。 AX=B→X=4-B XA=B→X=BA AXB=C→X=ACB

, , . AX B XA B AXB C A = = = B 解矩阵方程 ，其中 、 均为可逆矩阵 例7. 1 1 1 1 1 1 1 . ( ) − − − − − − − = = = =  = =  = X AX B A A A A AX A B X A B A AX B X A B XA B X BA 解矩阵方程时，应注意已知矩阵与 的位置关 系例如解 ，要先考察 是否可逆 这个过程 可以不写出 ，只有 可逆时才可解这个矩阵方程， 这时将方程两边同时左乘 ，得 ，即 而不能右乘 ，因为矩阵的乘法不满足交 。 解 换律 ： 1 1 − − AXB C X A CB =  =

例8.设A,B,C,D都是n阶方阵,A是非奇异的E是n 阶单位阵,并且 A B E-A B K=L-c CDZ=oe CAE (1)求乘积XYzZ; (2)证明 A B C D A·D-C4B 解:(1)XYz=/ E O ABLE-AB CAE八CD(OE B E-AB OD-CAB八OE O D-CAB

( ) 1 1 1 , , , O , , . O (1) ; (2) : n n − − −     − = = =         − =  − A,B,C,D A E E A B E A B X Y Z C A E E C D XYZ A B Α D CA B C D 设 都是 阶方阵 是非奇异的 是 阶单位阵 并且 求乘积 证明 例8 . ( ) 1 1 1 1 1 O (1) O O O O O − − − − −     − =         −      − = =           − − E A B E A B XYZ C A E E C D A B A E B A D C B E D C B A A 解：

2)由于 XYZ OD-CA B AlD-CAB 又|Xz|=|X||z而|X|=|Z|=1 所以: A BIA .D-CA-B C D

1 1 1 (2) O O 1 − − −   = = −     − = = = =  − A XYZ A D CA B D CA B XYZ X Y Z X Z A B A D CA B C D 由于 又 而 所以：