《机械控制工程基础》课程授课教案（讲稿）第02章 拉普拉斯变换

第2章拉普拉斯变换学习要点要求掌握拉氏变换的概念；拉氏变换的性质，包括：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理；常用函数的拉氏变换：拉氏逆变换；卷积定理。拉普拉斯变换简称拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的重要数学工具之一，它可以把时域中的微分方程变换成复数域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时利用拉氏变换建立控制系统的传递函数、频率特性等分析中发挥着重要作用。拉氏变换法的优点如下。①从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把微分积分方程转换为代数方程。对于指数函数、超越函数以及某些非周期性的具有不连续点的函数，用古典方法求解比较烦，经拉氏变换可转换为简单的初等函数，就很简便。②当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。③拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算。在此基础上，建立了控制系统传递函数的概念，这一重要概念的应用为研究控制系统的传输问题提供了许多方便。2.1拉氏变换的概念2.1.1问题的提出当一个函数除满足狄里赫利条件外，且在(-80，)内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅立叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，在控制工程中经常应用的许多时间函数，即使是很简单的函数（如单位阶跃函数、正弦函数、指数函数、斜坡函数等线性函数）也并不满足这个条件：同时，能够进行傅立叶变换的时间函数必须在整个时间轴上有定义，即8

8 第 2 章 拉普拉斯变换 要求掌握拉氏变换的概念；拉氏变换的性质，包括：线性性质、微分性质、积分 性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理；常用函数的拉氏变换；拉氏逆变 换；卷积定理。 拉普拉斯变换简称拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的 重要数学工具之一，它可以把时域中的微分方程变换成复数域中的代数方程，从而使微分方程 的求解大为简化。同时利用拉氏变换建立控制系统的传递函数、频率特性等分析中发挥着重要 作用。 拉氏变换法的优点如下。 ① 从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微 分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把微分积分方程转换为代数方程。对 于指数函数、超越函数以及某些非周期性的具有不连续点的函数，用古典方法求解比较烦琐， 经拉氏变换可转换为简单的初等函数，就很简便。 ② 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统 的瞬态分量和稳态分量。 ③ 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算。在此 基础上，建立了控制系统传递函数的概念，这一重要概念的应用为研究控制系统的传输问题提 供了许多方便。 2.1 拉氏变换的概念 当一个函数除满足狄里赫利条件外，且在(-∞，∞)内满足绝对可积的条件时，就一定存 在古典意义下的傅立叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，在控制工程中经常应用的许多时 间函数，即使是很简单的函数（如单位阶跃函数、正弦函数、指数函数、斜坡函数等线性函数） 也并不满足这个条件；同时，能够进行傅立叶变换的时间函数必须在整个时间轴上有定义，即 学习要点

第2章拉普拉斯变换1e(-0,α)。但在控制工程等实际应用中，许多以时间1作为自变量的时间函数往往在10)所具有的特点，分别构成两个新的函数(t)u(t)和p(t)e-，这时，(t)u(t)的积分区间由(-0，0)变成[0,0)，在积分区间[0,)内p(t)u()=p(t)；而p(t)e-就有可能变得绝对可积。如果再构成一个新的函数(2.1)p(t)u(t)e-Br (β>0)只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件，即时间函数β(t)的傅立叶变换存在。对式（2.1）取傅立叶变换，得Gg (o) = [p(t)u(t)e-Pe-jnr dt(2.2)=J, 0(1)u(1)e-(β+J vdr因此，对时间函数(0)先乘以u(t)e-（β>0)，再进行傅立叶变换的运算，这就产生了一种新的变换一一拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。规定：①f(t)=p(t)u(t)为时间t的函数，并且当<0时f(t)=0;②S=β+jo为复变量：③L为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间函数用拉氏积分[e-dt进行变换；F(s)为时间函数f(t)的拉氏变换。于是，时间函数f()的拉氏变换为(2.3)LLf(t)=F(s)=e-"diLf(t))=f(t)e-"dt即时间函数F(s)为f(の)的拉普拉斯变换。在这里，f(t)称“原函数”，F(s)称“象函数”。从拉氏变换F(s)求时间函数的f(t)逆变换过程称拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换，其运算符号为L-l。拉氏逆变换可以通过下列反演积分，从F(s）求得拉氏逆变换[[F(s)= ()=["F(s)eds (1≥0)(2.4)2元iβ-式（2.4）和式（2.3）成为一对互逆的积分变换公式，我们也称f()和F(s）构成了一个拉氏变换对。计算反演积分通常比较困难，实际上我们很少采用式（2.4）这个积分去求时间函数f(t）。这里存在着一些较简单的求解时间函数f(t)的方法，在本章的2.3节将讨论这些方法

9 t  −( , ) ∞∞ 。但在控制工程等实际应用中，许多以时间 t 作为自变量的时间函数往往在 t0)所具有的特点，分别构成两个新的 函数 ( ) ( ) t u t 和 ( )e t t   − ，这时， ( ) ( ) t u t 的积分区间由(-∞，∞)变成[0,∞)，在积分区间[0,∞) 内   ( ) ( ) ( ) t u t t = ；而 ( )e t t   − 就有可能变得绝对可积。 如果再构成一个新的函数 ( ) ( )e t t u t   − (>0) （2.1） 只要 值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件，即时间函数 ()t 的傅立叶变 换存在。 对式（2.1）取傅立叶变换，得 ( ) 0 ( ) ( ) ( )e e d ( ) ( )e d t j t j t G t u t t t u t t         − − − − + = =   ∞ ∞ ∞ （2.2） 因此，对时间函数 ()t 先乘以 ( )e t u t − (>0)，再进行傅立叶变换的运算，这就产生了一种 新的变换——拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 规定： ① f t t u t ( ) ( ) ( ) = 为时间 t 的函数，并且当 t<0 时 f t( ) 0 = ； ② s j = +   为复变量； ③ L 为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间函数用拉氏积分 0 e dst t −  ∞ 进行变换； ④ F s( ) 为时间函数 f t() 的拉氏变换。 于是，时间函数 f t() 的拉氏变换为 0 0 [ ( )] ( ) e d [ ( )] ( )e d st st L f t F s t f t f t t − − = = =   ∞ ∞ （2.3） 即时间函数 F s( ) 为 f t() 的拉普拉斯变换。在这里， f t() 称 “原函数”， F s( ) 称“象函数”。 从拉氏变换 F s( ) 求时间函数的 f t() 逆变换过程称拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换，其 运算符号为 1 L − 。拉氏逆变换可以通过下列反演积分，从 F s( ) 求得拉氏逆变换 1 1 [ ( )] ( ) ( )e d 2 j j st j L F s f t F s s    + − − = =  ∞ ∞ （t≥0） （2.4） 式（2.4）和式（2.3）成为一对互逆的积分变换公式，我们也称 f t() 和 F s( ) 构成了一个拉 氏变换对。 计算反演积分通常比较困难，实际上我们很少采用式（2.4）这个积分去求时间函数 f t() 。 这里存在着一些较简单的求解时间函数 f t() 的方法，在本章的 2.3 节将讨论这些方法

机械控制工程基础2.1.2拉氏变换的存在定理对于一个时间函数f()的拉氏变换也像其傅氏变换一样，在数学上必须满足一定条件，才可求取其拉氏变换，从而引出了拉氏变换的存在定理。若时间函数f()满足下列条件：①在0的任一有限区间上分段连续：②当t→o时，f()的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M>0及c≥0，使得(≤Me",0≤tc上一定存在，右端的积分在Re(s)≥Ci>c上绝对收敛而且一致收敛，并且在R,(s)>c半平面内，F(s)为解析函数。即，如果拉氏积分收敛，则时间函数f()的拉氏变换存在。如果f()在>0范围内的每一个有限区间上分段连续，并且当1趋于无穷大时，函数f(）是指数级的，则拉氏积分将是收敛的。1.常用函数的拉氏变换（1）指数函数考虑下列指数函数：010式中，A为常数。应当指出，这个函数是指数函数Ae-αt在α=0时的特殊情况。当t=0时，阶跃函数是不连续的。阶跃函数的拉氏变换为Ae"'di = 4L[A]=(2.9)10

10 对于一个时间函数 f t() 的拉氏变换也像其傅氏变换一样，在数学上必须满足一定条件， 才可求取其拉氏变换，从而引出了拉氏变换的存在定理。 若时间函数 f t() 满足下列条件： ① 在 t≥0 的任一有限区间上分段连续； ② 当 t →∞ 时， f t() 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数 M>0 及 c≥0，使得 |f(t)|≤Me ct，0≤ t ∞ 成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c 为它的增长指数）。 则 f t() 的拉氏变换 0 ( ) ( )e dst F s f t t − =  ∞ （2.5） 在半平面 R ( ) e s c  上一定存在，右端的积分在 Re(s)≥c1>c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 R ( ) e s c  半平面内， F s( ) 为解析函数。 即，如果拉氏积分收敛，则时间函数 f t() 的拉氏变换存在。如果 f t() 在 t>0 范围内的每 一个有限区间上分段连续，并且当 t 趋于无穷大时，函数 f t() 是指数级的，则拉氏积分将是收 敛的。 1．常用函数的拉氏变换 （1）指数函数 考虑下列指数函数： 0 0 ( ) 0 t t f t Ae t −   =   （2.6） 式中，A 和 为常数。 指数函数的拉氏变换为 ( ) 0 0 [ e ] e d e d t t st s t A L A Ae t A t s     − − − − + = = = +   ∞ ∞ （2.7） 可以看出，指数函数在复平面内将产生了一个极点。 （2）阶跃函数 考虑下列阶跃函数： 0 0 ( ) 0 t f t A t   =    （2.8） 式中，A 为常数。应当指出，这个函数是指数函数 e t A − 在 =0 时的特殊情况。当 t=0 时，阶 跃函数是不连续的。 阶跃函数的拉氏变换为 0 [ ] e dst A L A A t s − = =  ∞ （2.9） ≥

第2章拉普拉斯变换在进行上述积分时，我们假设s的实部大于零，因此lime-al=0这样求得的拉氏变换，除在极点5-0之外，在整个复平面上都是正确的。特别地，当A=1时的阶跃函数称单位阶跃函数，如图2.1（a）所示，通常用u(t)表示。发生在-to时的单位阶跃函数通常写成u(t-t），如图2.1（b）所示。高度为A的阶跃函数，即式（2.8）中的f(l)，当其发生在t=0时，可以写成f(t)=Au(t)。u(t) 4u(tto) 4o1o1fo(b)(a)图2.1单位阶跃函数因此，单位阶跃函数t）可由下式定义[o10其拉氏变换为e""dt=L[u(t)]=(2.11)实际上，发生于t=0时的阶跃函数，相当于在时间t=0时，把一个定常信号突然加到系统上。（3）斜坡函数考虑下列斜坡函数：[o1<0(2.12)f(t)[At1≥0式中，A为常数。斜坡函数的拉氏变换为Ae[Ate"dt = AteL[At]=[d(2.13)e-"dt=-s特别地，当A=1时的斜坡函数称单位斜坡函数，如图2.2（a）所示，通常用r()表示。发生在t=to时的单位斜坡函数通常写成r(t-t。），如图2.2（b）所示。当高度为A的斜坡函数，即式（2.12）中的f(t)，当其发生在t=0时，可以写成f()=Ar()。11

11 在进行上述积分时，我们假设 s 的实部大于零，因此 lim 0 t t e − = →∞ 这样求得的拉氏变换，除在极点 s=0 之外，在整个复平面上都是正确的。 特别地，当 A=1 时的阶跃函数称单位阶跃函数，如图 2.1（a）所示，通常用 ut() 表示。 发生在 t=t0 时的单位阶跃函数通常写成 0 u t t ( ) − ，如图 2.1（b）所示。高度为 A 的阶跃函数， 即式（2.8）中的 f t() ，当其发生在 t = 0 时，可以写成 f t Au t ( ) ( ) = 。 图 2.1 单位阶跃函数 因此，单位阶跃函数 ut() 可由下式定义 0 0 ( ) 1 0 t u t t   =    （2.10） 其拉氏变换为 0 1 [ ( )] e dst L u t t s − = =  ∞ （2.11） 实际上，发生于 t = 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t = 0 时，把一个定常信号突然加到系统上。 （3）斜坡函数 考虑下列斜坡函数： 0 0 ( ) 0 t f t At t   =   （2.12） 式中，A 为常数。 斜坡函数的拉氏变换为 0 0 0 2 0 e e [ ] e d d e d st st st st A L At At t At t s s A A t s s − − − − = = − − − = =    ∞ ∞ ∞ ∞ （2.13） 特别地，当 A=1 时的斜坡函数称单位斜坡函数，如图 2.2（a）所示，通常用 rt() 表示。发 生在 t=t0 时的单位斜坡函数通常写成 0 r t t ( ) − ，如图 2.2（b）所示。当高度为 A 的斜坡函数， 即式（2.12）中的 f t() ，当其发生在 t = 0 时，可以写成 f t Ar t ( ) ( ) = 。 ≥

机械控制工程基础r(10)斜率斜率=100t-(a)(b)图2.2单位斜坡函数因此，单位斜坡函数r()可由下式定义ro1<0f(t)=(2.14)1t≥0其拉氏变换为L[]=te-sdtd(2.15)sfdt :（4）正弦函数考虑下列正弦函数：01<0f(t):(2.16)1≥0Asinot式中，A和为常数，如图2.3（a）所示。根据欧拉公式1(ea-Jesinot=21因此，正弦函数的拉氏变换为(eJan-e-jer)e"diL[Asinot](2.17)A1AoA2js-jo2js+jo+02类似地，Acosot（如图2.3（b）所示）的拉氏变换可以导出如下：AsL[Acosot]=(2.18)5? +0?f(o)f(t)(b)(a)12

12 图 2.2 单位斜坡函数 因此，单位斜坡函数 rt() 可由下式定义 0 0 ( ) 0 t f t t t   =   （2.14） 其拉氏变换为 0 0 0 2 0 e e [ ] e d d 1 1 e d st st st st L t t t t t s s t s s − − − − = = − − − = =    ∞ ∞ ∞ ∞ （2.15） （4）正弦函数 考虑下列正弦函数： 0 0 ( ) sin 0 t f t A t t    =   （2.16） 式中，A 和为常数，如图 2.3（a）所示。 根据欧拉公式 1 sin (e e ) 2 j t j t t j    − = − 因此，正弦函数的拉氏变换为 0 2 2 [ sin ] (e e )e d 2 1 1 2 2 A j t j t st L A t t j A A A j s j j s j s        − − = − = − = − + +  ∞ （2.17） 类似地， A t cos （如图 2.3（b）所示）的拉氏变换可以导出如下： 2 2 [ cos ] As L A t s   = + （2.18） ≥ ≥

第2章拉普拉斯变换图2.3正弦函数和余弦函数（5）脉动函数考虑下列脉动函数[40<t<to(2.19)f(t)=/t010t<0,t<t式中，A和to为常数这里的脉动函数可以看成是一个从=0开始的高度为A/to的阶跃函数，与另一个从=lo开始的高度为A/to的负阶跃函数叠加而成，如图2.4所示，即AA(2.20)f(t)=-u(t)--u(t-to)totoft0oto图2.4·脉动函数于是，脉动函数的拉氏变换为Au()-L[f(O)]=L-ut-tot(2.21)A_Ae"=-A(1-e-$o)toslostos（6）脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。考虑下列脉冲函数Mlim0<t<△(2.22)40△g(t)=01<0,△<t因为这种脉冲函数的高度为A/△，持续时间为A，所以脉冲下的面积等于A。当持续时间△趋近于零时，高度A/A趋近于无穷大，但是脉冲下的面积仍然等于A。应当指出，脉冲的大小是用它的面积来度量的。利用式（2.22）可以证明这个脉冲函数的拉氏变换为：13

13 图 2.3 正弦函数和余弦函数 （5）脉动函数 考虑下列脉动函数 0 0 0 0 ( ) 0 0, A t t f t t t t t     =      （2.19） 式中，A 和 t0 为常数。 这里的脉动函数可以看成是一个从 t=0 开始的高度为 A/t0 的阶跃函数，与另一个从 t=t0 开 始的高度为 A/t0 的负阶跃函数叠加而成，如图 2.4 所示，即 0 0 0 ( ) ( ) ( ) A A f t u t u t t t t = − − （2.20） 图 2.4 脉动函数 于是，脉动函数的拉氏变换为 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) e (1 e ) st st A A L f t L u t L u t t t t A A A t s t s t s − −     = − −         = − = − （2.21） （6）脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。考虑下列脉冲函数 0 lim 0 ( ) 0 0, A t g t t t       =        → （2.22） 因为这种脉冲函数的高度为 A/∆，持续时间为∆，所以脉冲下的面积等于 A。当持续时间∆ 趋近于零时，高度 A/∆趋近于无穷大，但是脉冲下的面积仍然等于 A。应当指出，脉冲的大小 是用它的面积来度量的。 利用式（2.22）可以证明这个脉冲函数的拉氏变换为：

机械控制工程基础L[g(0)]= limAd[A(1-e-")](2.23)Asd4=lim(As)d(因此，脉冲函数的拉氏变换等于该脉冲下的面积。特别地，当面积A=1的脉冲函数称单位脉冲函数，或称狄拉克(Disac)函数，如图2.5（a）所示，常用8(t)表示。发生在1=to处的单位脉冲函数通常用(t-t）表示，如图2.5（b）所示。此时，(t-t）满足下列条件：O(t+1.)8(t-t):8(t= lo)(2.24)[8(t-to)dt =10t&t-to) --14oo(a)(b)图2.5单位脉冲函数应当说明，量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。例如，当力或者力矩输入量(）在很短的持续时间内(O<t<t)作用到系统上，并且f(t)的量值充分大，致使积分f(t)dt不能忽视时，这个输入量就可以看做是一个脉冲输入。应当指出，当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。单位脉冲函数8(t-t）可以看做是单位阶跃函数u(t-t)在间断点t=t。上的导数，即08(t-10)=u(t-to)(2.25)dt"相反，如果对单位脉冲函数8(t-t）积分' 8(t-t)dt =u(t-10)(2.26)积分的结果就是单位阶跃函数u(t-t）。利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这14

14 ( ) 0 0 [ ( )] lim (1 e ) d (1 e ) d lim d d s s A L g t s A As A s s −   −     = −        −    = = =   → → （2.23） 因此，脉冲函数的拉氏变换等于该脉冲下的面积。 特别地，当面积 A=1 的脉冲函数称单位脉冲函数，或称狄拉克(Disac)函数，如图 2.5（a） 所示，常用  ()t 表示。发生在 t = t0 处的单位脉冲函数通常用 0  ( ) t t − 表示，如图 2.5（b）所示。 此时， 0  ( ) t t − 满足下列条件： 0 0 0 0 - 0 ( ) ( ) ( ) ( )d 1 t t t t t t t t t     − =   = − =  ∞ ∞ ∞ （2.24） 图 2.5 单位脉冲函数 应当说明，量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在 物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较 非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。例如，当力或者力矩输入量 f t() 在很短 的持续时间内 (0 )  t  作用到系统上，并且 f t() 的量值充分大，致使积分 0 f t t ( )d   不能忽视 时，这个输入量就可以看做是一个脉冲输入。 应当指出，当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并 不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 0  ( ) t t − 可以看做是单位阶跃函数 0 u t t ( ) − 在间断点 0 t t = 上的导数，即 0 0 d ( ) ( ) d t t u t t t  − = − （2.25） 相反，如果对单位脉冲函数 0  ( ) t t − 积分 0 0 0 ( )d ( ) t t  t t t u t t − = −  （2.26） 积分的结果就是单位阶跃函数 0 u t t ( ) − 。 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这

第2章拉普拉斯变换些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。（7）加速度函数考虑下列加速度函数：[Ar?1≥0f(t)(2.27)t<00式中，A为常数。加速度函数的拉氏变换为L[Ar']-["At'e-"dt=[Pe-"te-"dt-21(2.28)=24S3特别地，当A=二时的加速度函数称单位加速度函数，如图2.6（a）所示，通常用α(t）表2示。发生在to时的单位加速度函数通常写成α(t-t），如图2.6（b）所示。a(0)4a(t-to) 61ooTto(a)(b)图 2.6 单位加速度函数因此，单位加速度函数α()可由下式定义0(t<0)(2.29)a(t)=(t≥0)其拉氏变换为-2.ut-e-"d[, e" dtre(2.30)I315

15 些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。 （7）加速度函数 考虑下列加速度函数： 2 0 ( ) 0 0 At t f t t  =    （2.27） 式中，A 为常数。 加速度函数的拉氏变换为 2 2 2 0 0 0 3 [ ] e d e 2 e d 1 2 st st st A L At At t t t t s A s − − −   = = −     =   ∞ ∞ ∞ （2.28） 特别地，当 1 2 A = 时的加速度函数称单位加速度函数，如图 2.6（a）所示，通常用 at() 表 示。发生在 t=t0 时的单位加速度函数通常写成 0 a t t ( ) − ，如图 2.6（b）所示。 图 2.6 单位加速度函数 因此，单位加速度函数 at() 可由下式定义 2 0 ( 0) ( ) 1 ( 0) 2 t a t t t    =    （2.29） 其拉氏变换为 2 2 0 2 0 0 3 1 1 ( ) e d 2 2 1 1 e e d 2 1 st st st L t u t t t t t t s s − − −    =       = −       =   ∞ ∞ ∞ （2.30） ≥ ≥

机械控制工程基础2.关于拉氏积分下限的说明在某些情况下，如果时间函数f(t)在t=0处有一个脉冲函数8(t)，这时必须明确地指出拉氏积分的下限是0-还是0+。因为对于这两种下限，f(t)的拉氏变换是不同的。如果拉氏积分下限的这种区别是必要的，可采用下列符号予以区分：LLf(0)]= Jf(0)e"dt(2.31)L[f(0)]= Jf(0)e"dt = ff()e"dt +L[f(0)如果时间函数f()在=0处包含一个脉冲函数8(t)，则(2.32)L())+L[f(t))因为在这种情况下f(t)e-"'dt*0显然，如果在=0处f(0)不具有脉冲函数8(0）（即如果被变换的函数在=0-和=0+之间是有限的），则有(2.33)L,Lf()}=L[f()2.2拉氏变换的性质虽然，根据拉氏变换的定义，利用式（2.3）可以求得一些常用函数的拉氏变换，但是，在实际工程应用中，常常不去作这一积分运算，而是利用拉氏变换的一些基本性质（或称“定理”）得出它们的变换关系式。在掌握了这些基本性质后，运用有关定理，可以方便地求得一些复杂时间函数的拉氏变换。本节将介绍拉氏变换的基本性质，它们在控制工程中是非常重要的。2.2.1线性性质线性性质也称叠加性，即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以K时，其变换式也乘以相同的常数K。这个性质的数学描述为若()=F;(s),[ r(0Xd)]-++()。Ki、K为常数时，则s2(2.34)L[K.(t)±K,f2(t)=K,F(s)±K,F(s)证明：L[K,J.(t)±K,J(0)]=J[K,f(0)±K,f(t)]e-"di=JKf()e"dt±JK,()e"d=K,F(s)+K,F(s)16

16 2．关于拉氏积分下限的说明 在某些情况下，如果时间函数 f t() 在 t=0 处有一个脉冲函数  ()t ，这时必须明确地指出拉 氏积分的下限是 0－还是 0＋。因为对于这两种下限， f t() 的拉氏变换是不同的。如果拉氏积分 下限的这种区别是必要的，可采用下列符号予以区分： 0 0 0 0 [ ( )] ( )e d [ ( )] ( )e d ( )e d [ ( )] st st st L f t f t t L f t f t t f t t L f t + + − − − + − − − + = = = +    ∞ ∞ （2.31） 如果时间函数 f t() 在 t=0 处包含一个脉冲函数  ()t ，则 L f t L f t [ ( )] [ ( )] + −  （2.32） 因为在这种情况下 0 0 ( )e d 0 st f t t + − −   显然，如果在 t=0 处 f t() 不具有脉冲函数  ()t （即如果被变换的函数在 t=0-和 t=0+之间是 有限的），则有 L f t L f t [ ( )] [ ( )] + − = （2.33） 2.2 拉氏变换的性质 虽然，根据拉氏变换的定义，利用式（2.3）可以求得一些常用函数的拉氏变换，但是， 在实际工程应用中，常常不去作这一积分运算，而是利用拉氏变换的一些基本性质（或称“定 理”）得出它们的变换关系式。在掌握了这些基本性质后，运用有关定理，可以方便地求得一 些复杂时间函数的拉氏变换。 本节将介绍拉氏变换的基本性质，它们在控制工程中是非常重要的。 线性性质也称叠加性，即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以 K 时，其变换式也乘以相同的常数 K。 这个性质的数学描述为 若 1 1 L f t F s [ ( )] ( ) = , 1 2 2 2 2 ( ) (0) (0) ( )(d ) F s f f L f t t s s s − −   = + +    。K1、K2 为常数时，则 1 1 2 2 1 1 2 2 L K f t K f t K F s K F s [ ( ) ( )] ( ) ( )  =  （2.34） 1 1 2 2 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]e d ( )e d ( )e d ( ) ( ) st st st L K f t K f t K f t K f t t K f t t K f t t K F s K F s − − −  =  =  =     ∞ ∞ ∞

第2章拉普拉斯变换这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。【例2.1】求f(t)=sinot的拉氏变换F(s)。解：根据欧拉公式1(e)f(t)=sinot=2i而1F[eid1F[e-je"]-s+jo由拉氏变换的线性性质可知0L[sinot]52+02ios+jo用同样的方法可求得sLJcos ot|=5+0?2.2.2微分性质若Lf())=F(s)，则df(t(2.35)sF(s)- f(O)式中，f(O)是f(0)在t=0时的初始值。对于给定的时间函数f()，其f(0）和f(0）的值可能相同，也可能不同，如图2.7所示。当f()在t=0处具有间断点时，f(0.）和f(0.之间的差别很重要，因为在这种情况下df(t)/dr在1=0处将包含一个脉冲函数8()。即f(0.）≠f(0.），则式（2.35）必须修改为：df(t)sF(s)- f(0.)1dt(2.36)df(t)sF(s)-f(0_)Ldt证明：根据拉氏变换的定义，有df(t)[@e"ddtd对右端积分利用分部积分法，可得["d= (e" +s], (e"dr= sL[F(0)- f(O) = sF(s)- f(O)17

17 这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。 【例 2.1】 求 f t t ( ) sin =  的拉氏变换 F s( ) 。 根据欧拉公式 1 ( ) sin (e e ) 2 j t j t f t t j    − = = − 而 1 [e ] 1 [e ] j t j t F s j F s j     − = − = + 由拉氏变换的线性性质可知 2 2 1 1 1 [sin ] 2 L t j s j s j s        = − =     − + + 用同样的方法可求得 2 2 [cos ]   + = s s L t 若 L f t F s [ ( )] ( ) = ，则 d ( ) ( ) (0) d f t L sF s f t   = −     （2.35） 式中， f (0) 是 f t() 在 t=0 时的初始值。 对于给定的时间函数 f t() ，其 f (0 ) + 和 f (0 ) − 的值可能相同，也可能不同，如图 2.7 所示。 当 f t() 在 t＝0 处具有间断点时， f (0 ) + 和 f (0 ) − 之间的差别很重要，因为在这种情况下 df (t)/dt 在 t＝0 处将包含一个脉冲函数  ()t 。即 f (0 ) + ≠ f (0 ) − ，则式（2.35）必须修改为： d ( ) ( ) (0 ) d d ( ) ( ) (0 ) d f t L sF s f t f t L sF s f t + + − −   = −       = −     （2.36） 根据拉氏变换的定义，有 0 d ( ) d ( ) e d d d st f t f t L t t t     − =          ∞ 对右端积分利用分部积分法，可得 0 0 0 d ( ) e d ( )e ( )e d d [ ( )] (0) ( ) (0) st st st f t t f t s f t t t sL f t f sF s f   − − − = +     = − = −   ∞ ∞ ∞