武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第三章 非线性方程的数值解法（3.1）对分法和一般迭代法

数值分析 第三章非线性方程的数值解法 数学与统计学院 BeebaeseseSeses'BeSasBeSesBsse

数值分析 第三章 非线性方程的数值解法 数学与统计学院

简介( Introduction) 我们知道在实际应用中有许多非线性方程的 例子,例如 (1)在光的衍射理论( the theory of diffraction of light)中,我们需要求 X-tanx=0的根 (2)在行星轨道( planetary orbits)的计算 中,对任意的a和b,我们需要求 X-asinX=b的根 (3)在数学中,需要求n次多项式xn+a1xn 1+..+an1x+an1=0的根 求f(x)=0的根

简介（Introduction） • 我们知道在实际应用中有许多非线性方程的 例子，例如 • （1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们需要求x-tanx=0的根 • （2）在行星轨道（planetary orbits）的计算 中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根 • （3） 在数学中，需要求n次多项式x n + a1 x n- 1+...+an-1 x + an ＝0的根 求f(x)=0的根

s31对分区间法 (Bisection Method 原理:著fx)∈C{a,b,且∫(a)·f(b)< 0,则f(x在(a,b)上必有一根

§3.1 对分区间法 (Bisection Method ) 原理：若 f(x) C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则f(x) 在 (a, b) 上必有一根

停机条件( termination condition) E1或f(x)<

a b x1 x2 a1 b x* b1 a2 停机条件（termination condition ）： 1 1 x x ε k+ − k  2 或 f (x)  ε

差)分析: a+b 第1步产生的x、=2 有误差p1-xs 第k步产生的xk有误差4-x≤2 对于给定的精度,可估计二分法所需的步数 In(b-a)-In el 2 In 2

误差 分析： 第1步产生的 2 1 a b x + = 有误差 2 1 b a |x x*| − −  第 k 步产生的 xk 有误差 k k b a |x x*| 2 − −  对于给定的精度  ,可估计二分法所需的步数 k ：  ( )  ln 2 ln ln 2 b a ε ε k b a k − −    −

例1用二分法求x2+4x2-10=0 在(1,2)内的根,要求绝对误差不超过1×10-2 解 f(1)=50-(1,2)+ 15 f(15)>01,1.5) 2 1.25 f(125)0(1.25,1375) x4≈1313 f(1313)0(1.360,1.368) 8=1364

例1 用二分法求 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 解： f(1)=-50 -(1,2)+ f(1.25)0 (1.25,1.375) f(1.313)0 (1.360,1.368) 4 10 0 3 2 x + x − = 2 10 2 1 −  f(1.5)>0 (1,1.5) xn x1 = 1.5 1.364 1.368 1.360 1.344 1.313 1.375 1.25 8 7 6 5 4 3 2 =   =  = = x x x x x x x

例2,求方程x)=x3-ex=的一个实根。 因为f(0)0。故fx)在(0,1)内有根 用二分法解之,(ab)=(0,1)3计算结果如表: f(x)符号 0.5000 k0123456789 0.5000 0.7500 0.7500 0.8750 0.8750 0.8125 0.8125 0.7812 0.7812 0.7656 十++一 0.7656 0.7734 0.7734 0.7695 0.7695 0.7714 0.7714 0.7724 100.7724 0.7729 取x10=0.7729,误差为x*-X10=1/21

12 例2，求方程f(x)= x 3 –e -x =0的一个实根。 因为 f(0)0。 故f(x)在(0,1)内有根 用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表： k a bk xk f(xk )符号 0 0 1 0.5000 － 1 0.5000 － 0.7500 － 2 0.7500 － 0.8750 ＋ 3 － 0.8750 0.8125 ＋ 4 － 0.8125 0.7812 ＋ 5 － 0.7812 0.7656 － 6 0.7656 － 0.7734 ＋ 7 － 0.7734 0.7695 － 8 0.7695 － 0.7714 － 9 0.7714 － 0.7724 － 10 0.7724 － 0.7729 ＋ 取x10 =0.7729，误差为| x* -x10|<=1/2 11

Remark1:求奇数个根 Find solutions to the equation 0=3-6x+10 x-4 on the intervals o, 4], use the bisection method to compute a solution with an accuracy of 107. Determine the number of iterations to use

Remark1：求奇数个根 Find solutions to the equation on the intervals [0, 4]，Use the bisection method to compute a solution with an accuracy of 10－7 . Determine the number of iterations to use

+1一4 卫ot[I[x]x{xrD,4}1 0,1],[1.5,25]and[3,4] 利用前面的公式可计算 迭代次数为k=23

[0,1], [1.5, 2.5] and [3,4]， 利用前面的公式可计算 迭代次数为k=23

Remark2:要区别根与奇异点 Consider f(x)= tan(x)on the interval (0, 3). Use the 20 iterations of the bisection me thod and see what happens. Explain the results that you obtained (如下图)

Remark2:要区别根与奇异点 Consider f(x) = tan(x) on the interval (0,3).Use the 20 iterations of the bisection method and see what happens. Explain the results that you obtained. （如下图）