武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第四章 插值法（4.1）Lagrange插值

第四章插值法( Interpolation Method) 邹秀芬教授 数学与统计学院

第四章 插值法(Interpolation Method) 邹秀芬教授 数学与统计学院

举例 已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下 深度(M)46674195014221634 水温(C)7.044283402542.13 根据这些数据,希望合理地估计出其它深度(如 500米,600米,1000米..)处的水温 这就是本章要讨论的“插值问题

已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温 举例 这就是本章要讨论的“插值问题

插值问题的定义 当精确函数y=fx)非常复杂或未知时,在区 间ab]上一系列节点x…xm处测得函数值y fx)…,m=xm),由此构造一个简单易算的 近似函数g(x)≈fx),满足条件 g(x)=fx)G=0,…m) 这个问题称为“插值问题′ 这里的gx)称为fx)的插值函数。 节点x0…x称为插值节点 条件(*称为插值条件,区间a,b称为插值区间

当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区 间[a,b]上一系列节点 x0 … xm 处测得函数值 y0 = f(x0 ), …, ym = f(xm)，由此构造一个简单易算的 近似函数 g(x)  f(x)，满足条件 g(xj ) = f(xj ) (j = 0, … m) (*) 这个问题称为“插值问题” 插值问题的定义 这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。 节点 x0 … xm称为插值节点, 条件（*)称为插值条件，区间[a,b]称为插值区间

gr) f(r)

x0 x1 x2 x x3 x4 f(x) g(x)

⊙插值函数的类型有很多种 最常用的插值函数是代数多项式 用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值 本章主要讨论的内 容 插值法(② 插值问题 插值函数

最常用的插值函数是代数多项式 …? 用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值 本章主要讨论的内 容 插值函数的类型有很多种 插值问题 插值法 插值函数

插值问题解的存在唯一性? 代数插值一 二、插值多项式的常用构造方法? 插值函数的误差如何估计

• 一 、插值问题解的存在唯一性？ • 二、插值多项式的常用构造方法？ • 三、插值函数的误差如何估计？ 代数插值

4.2代数插值问题解的存在惟一性 给定区间[ab]上互异的n+1个点{x}=0的一 组函数值f(x),j=0,…,n,求一个n次多项式 pn(x)∈Pn,使得 Pn(x)=f(x),j=01…,n 令pn(x)=an+ax+…+anx", …(2) 只要证明Pn(x)的系数an,ap…,an存在唯一即可

4.2 代数插值问题解的存在惟一性 给定区间［a,b］上互异的n+1个点｛xj｝n j=0的一 组函数值f(xj )，j =0，…, n，求一个n次多项式 pn(x)∈Pn，使得 pn(xj )=f(xj )，j=0,1,…，n. …... (1) 令 pn (x)=a0+a1x+…+anx n , …... (2) 只要证明Pn (x)的系数a0 ,a1 ,…, an存在唯一即可

为此由插值条件(1)知Pn(x)的系数满足下列n+1 个代数方程构成的线性方程组 o+anx0+…+anx0"=(x ao+,+. +arx,"=f(v ao+arent.+arr,n=f(xn) (3)

为此由插值条件(1)知Pn(x)的系数满足下列n+1 个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+…+anx0 n=f(x0 ) a0+a1x1+…+anx1 n= f(x1 ) ……………………. a0+a1xn+…+anxn n= f(xn ) ……(3)

而a1(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是 Vandermonde行列式 V(xoxp…C.)、/ xx 2021 Xn x IIIIOx-x) 1j=0 由于x互异,所以(4)右端不为零,从而方程组 (3)的解a,a1…an存在且唯

2 0 0 0 2 1 1 1 0 1 2 1 ... 1 ... V( , ,..., ) ... ... ... ... ... 1 ... n n n n n n n x x x x x x x x x x x x = 1 1 0 ( ) n i i j i j x x − = = = −   而ai (i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式 由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组 (3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一

通过解上述方程组(3)求得插值多项式pn(x)的方法并 而且方程组系数矩阵的条件数一般较大(可能是病 态方程组),当阶数n越高时,病态越重。 为此我们必须从其它途 径来求Pn(x): 不通过求解方程组而获 得插值多项式

通过解上述方程组(3)求得插值多项式pn (x)的方法并 不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量较大， 而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能是病 态方程组）,当阶数n越高时，病态越重。 为此我们必须从其它途 径来求Pn (x)： 不通过求解方程组而获 得插值多项式