武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第八章 常微分方程的数值方法（8.2）单步法的收敛性和稳定性

81.3单步法的收敛性和稳定性 (Convergency and Stability) 单步法的收敛性 在讨论收敛性之前,先介绍局部截断误差、整体 截断误差的定义及其他们之间的关系 求解初值问题jy=f(x,y)2a<x<b 的一般显式单步法可以写成如下形式 y+1=y+(x,y,h) 35

在讨论收敛性之前，先介绍局部截断误差、整体 截断误差的定义及其他们之间的关系 8.1.3 单步法的收敛性和稳定性 (Convergency and Stability) 一、单步法的收敛性 求解初值问题 0 ( , ), ( ) y f x y a x b y a y   =     = 的一般显式单步法可以写成如下形式：

1、局部截断误差 定义在假设y=y(x),即第i步计算是精确的前提下, 考虑的截断误差R1=y(x)-y称为局部截断误差/ local truncation error * 对于数值方法 Vil=Vi+ ho(i,vi, h) 局部截断误差定义为: ei1=y(x+)-[y(x)+h(x1,y(x),h) 假定“y1=y(x)称为局部化假定

1、局部截断误差 1 1 ( , , ), ( ) [ ( ) ( , ( ), )] i i i i i i i i y y h x y h y x y x h x y x h   + + = + i+1 = − + 对于数值方法 局部截断误差定义为: e 定义 在假设 yi = y(xi )，即第 i 步计算是精确的前提下， 考虑的截断误差 Ri = y(xi+1 ) − yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 假定“yi = y(xi )”称为局部化假定

2、整体截断误差 对于数值方法 Viy;+hp(ai, yi, h) 其整体截断误差定义为 E1=y(x)-yn1=y(x1)-[y+h0(x,y2,h)

2、整体截断误差 1 1 1 1 1 ( , , ) ( ) ( ) [ ( , , )]. i i i i i i i i i i i y y h x y h E y x y y x y h x y h   + + + + + + = − = − + 对于数值方法 = 其整体截断误差定义为

3、局部截断误差与整体截断诶误差的关系 定理814若单步法(35)的局部截断误差en1=O(hPn1 (即ln|sMm2),且丑L>0使得 o(x,y,b)-叭(x,,)≤Dy-元,yF∈R 则(35)的整体截断误差满足 E,<(b-aE+ Mhp L

1 1 1 1 ( ) ( ) 1 0 8.1.4. ( ) 0 ( , , ) ( , , ) , , . [ 1]. p i p i p L b a L b a i e O h e Mh L x y h x y h L y y y y R Mh E e E e L   + + + + − − + =    −  −    + − 若单步法(35)的局部截断误差 截断误差满足 定理 (即 ),且 使得 则(35)的整体 3、局部截断误差与整体截断误差的关系

+1) (x)+ho(, y(x,,h)+e i+1, 与(35)相减得到 E1+1=y(x 4+1人 i+1 y(x1)-y1+hy(x12y(x)h)-(x12y2,h)]+e1 E|≤(1+hD)|E|+Mmh 再利用引理1就可得到 Mha+1 E+1≤e (+1)Lh E0+|+ (+1)Lh hL Mh° ≤ehEo+"[ LNh <e4(b-) 0+ Mh LL(

1 1, 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) ( ) [ ( , ( ), ) ( , , )] . (1 ) i i i i i i i i i i i i i i i p i i y x y x h x y x h e E y x y y x y h x y x h x y h e E hL E Mh    + + + + + + + + = + + = − = − + − +   + + 证: 与(35)相减得到 再利用引理1就可得到

结论:若单步法的局部截断误差为O(hP+) 整体截断误差为O(hP) 条件:满足 Lipsch条件

结论：若单步法的局部截断误差为O（h P+1) 整体截断误差为O（h P ) 条件：满足Lipschitz条件

单步法的收敛性定义 定义若某算法对于任意固定的x=x1=x0+ih,当 h->0(同时i→∞)时有y→y(x),则称该算法是收 敛的。 结论1:收敛<体截断误差E;0 结论2:只要单步法(35)式是高于零阶的方法, 判断单步法(35)式的收敛性就归结为验证其增量 函数(xy,h)是否满足对y的 Lipschitz条件

定义 若某算法对于任意固定的 x = xi = x0 + i h，当 h→0 ( 同时 i → ) 时有 yi → y( xi )，则称该算法是收 敛的。 单步法的收敛性定义 结论1：收敛 整体截断误差Ei 0 结论2：只要单步法(35)式是高于零阶的方法， 判断单步法(35)式的收敛性就归结为验证其增量 函数(x, y, h)是否满足对y的Lipschitz条件

例5Eule方法是收敛的 证明:由于Euer方法是一阶方法,且其增量 函数Φ(x,y,h)=f(x,y).而初值问题是要求函 数f(x,y对满足 Lipschitz条件的 故 Euler方法收敛

例5 Euler方法是收敛的. 证明： 由于Euler方法是一阶方法，且其增量 函数(x, y, h) =f (x, y)．而初值问题是要求函 数f (x, y)对y满足Lipschitz条件的， 故Euler方法收敛

例6改进Eule方法是收敛的 证明改进 Euler方法是二阶方法,其增量函数为 中(x,y,h)=万[f(x,y)+f(x+h,y+htf(x,y)】(42) 下面证明,当f(x,y)满足对y的 Lipschitz条件时,(42) 式中的Φ(x,y,h)也满足对y的 Lipschitz条件

例6 改进Euler方法是收敛的. 证明 改进Euler方法是二阶方法，其增量函数为 • 下面证明，当f (x, y)满足对y的Lipschitz条件时，(42) 式中的 (x, y, h)也满足对y的Lipschitz条件

由(42)式有 中(x,y,h)-4(x,y,b)≤f(x,y)-f(x,y) +af(x+h,y+hf(x,y))-f(x+ h,y+ hf(x,y) <ALy -y+L(y hf(x,y))-y+ hf(x, y))ll LLly-y+L(y-y+ hf(x, y)-f(x,y)D) ≤L(1+=hL)y-yl 假定h≤h(h为定数),并记L=L(1+hoL),则 有 中(x,y,h)-φ(x,y,b)≤Ly-y 即Φ(x,yh)满足对y的 Lipschitz条件,故改进的 Euler方法是收敛的

• 由(42)式有 • 假定h  h0 (h0为定数)，并记 ，则 有 • 即(x, y, h)满足对y的Lipschitz条件，故改进的 Euler方法是收敛的