武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第七章 数值积分（7.1）Newton-Cotes公式

第七章数值积分 ( Numerical Integration) 武汉大学数学与统计学院

第七章 数值积分 （Numerical Integration） 武汉大学数学与统计学院

内容提纲 数值积分的必要性 求积公式及其代数精度 插值型求积公式 > Newton- Cotes公式及数值稳定性 复化求积公式及误差估计

内容提纲 ➢ 数值积分的必要性 ➢ 求积公式及其代数精度 ➢ 插值型求积公式 ➢ Newton-Cotes公式及数值稳定性 ➢ 复化求积公式及误差估计

数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 I(f)=f(x)dx 在徼积分里,按 Newton-Leibniz公式求定积分 I()=/(xk=F(b)-F() 要求被积函数八x) 1有解析表达式; f(x)的原函数F(x)为初等函数

数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数． ( ) ( ) ( ) ( ) b a I f f x dx F b F a = = −   = b a I( f ) f (x)dx

实际问题 12(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示 例如函数: SIn x sIn x. cos x In x 考虑一个实际问题: 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块 平整的铝板压制而成的

实际问题 1.2 f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示 例如函数: 2 , 1 , ln 1 , sin sin ,cos , 2 2 3 x x e x x x x x − + 考虑一个实际问题: 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块 平整的铝板压制而成的

假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的 高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近 似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹 瓦所需铝板的长度L 这个问题就是要求由函数f(x)=inx给定 的曲线,从x0到x=48英寸间的弧长L 由微积分学我们知道所求的弧长可表示为 48 248 L 1+((x)2ahx=「√+(co3d 0 上述积分称为第二类椭圆积分它不能用普通方法 来计算

假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的 高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近 似2π英寸为一个周期. 求制做一块波纹 瓦所需铝板的长度L. 这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定 的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: L f x dx x dx   = + = + 48 0 2 48 0 ' 2 1 ( ( )) 1 (cos ) 上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法 来计算

2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函 数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计 算极不方便例如函数 x2√2x2+3 并不复杂,但它的原函数却十分复杂 3 x2√2x2+3+-xy2x2+3 9m(√2 x+√2x2+3) 16 16√2

2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函 数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计 算极不方便.例如函数 2 3 2 2 x x + 并不复杂,但它的原函数却十分复杂: ln( 2 2 3 ) 16 2 9 2 3 16 3 2 3 4 1 2 2 2 2 x x + + x x + − x + x +

3.f(x)没有解析表达式,只有数表形式: X 123 f(x)44.56 48 8.5 这些都说明,通过原函数来计算积分有它的 局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很 重要的实际意义

3.f(x)没有解析表达式，只有数表形式: x 1 2 3 4 5 f(x) 4 4.5 6 8 8.5 这些都说明,通过原函数来计算积分有它的 局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很 重要的实际意义

求积公式及其代数精度 求积公式的概念 积分值 (0)=f(x)d 在几何上可解释为由x=,x=b,=0和y=fx) 所围成的曲边梯形的面积积分计算之所以有 困难,就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x) 是曲的

求积公式及其代数精度 求积公式的概念 积分值 在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有 困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x) 是曲的.  = b a I( f ) f (x)dx

依据积分中值定理,对于连续函数f(x),在 a,b内存在一点使得 ()=f(x)x=(b-a)(5) 称2)为区间[a,b]的平均高度问题在于 点的具体位置一般是不知道的这样只要 对平均高度f(ξ)提供一种算法,相应地便获 得一种数值求积方法

依据积分中值定理,对于连续函数f(x),在 [a,b]内存在一点ξ,使得 I( f ) f (x)dx (b a) f () b a = = −  称f(ξ)为区间[a,b]的平均高度. 问题在于 点ξ的具体位置一般是不知道的.这样,只要 对平均高度f(ξ)提供一种算法,相应地便获 得一种数值求积方法

如果简单地选取区间a,b的一个端点或 区间中点的高度作为平均高度这样建立的 求积公式分别是: 左矩形公式:(0≈(b-m(a) 右矩形公式:(0=(b-a)f(b) 中矩形公式:I(0≈(b-a/(a+b)2

如果简单地选取区间[a,b]的一个端点或 区间中点的高度作为平均高度,这样建立的 求积公式分别是: 左矩形公式: I(f)≈(b-a)f(a) 右矩形公式: I(f)≈(b-a)f(b) 中矩形公式: I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2]