武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第四章 插值法（4.3）样条函数插值

owenS 样条函数插值 SPLINE INTERPOLATION 武汉大学数学与统计学院

样条函数插值 SPLINE INTERPOLATION 武汉大学数学与统计学院 WuHan University

owenS 内容提要 引言样条函数的物理背景 般K次样条 3次样条插值 高次自然样条与B-样条基础

内容提要 • 引言 样条函数的物理背景 • 一般 K 次样条 • 3次样条插值 • 高次自然样条与B- 样条基础 WuHan University

owenS §48样条函数插值 481引言样条函数的物理背景 回顾前面几节讲过的各种代数插值它们有一个共 同的弱点那就是:它们都是相当刚性(stf的也就是 说,局部数据误差易向远处传播、放大

§4.8 样条函数插值 4.8.1 引言 样条函数的物理背景 回顾前面几节讲过的各种代数插值,它们有一个共 同的弱点,那就是: 它们都是相当刚性(stiff)的.也就是 说, 局部数据误差易向远处传播、放大. WuHan University

owenS 以 Lagrange插值为例,设数据真值/(x)之以含有 误差的8f(x),,,,是以 L, (r) 为插位条件的辐冮多式竽是報终撷僵铗差是 由讲义第(x)-(x)=∑/()(x) 第二项为 这表明结点=f(x)-61(x)差通过插值基函数 放大和扩散

以Lagrange插值为例,设数据真值 被代之以含有 误差 的 , 令 是以 为插值条件的插值多项式,于是最终的插值误差是 由讲义第168页插值公式(6)知,上式右端第二项为 这表明结点 处的数据误差 通过插值基函数 放大和扩散. WuHan University f x( j )  f x( j ) f f x f x j j j = − ( )  ( ) 0 1 2 , , , , n f f f f L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n n f x L x f x L x L x L x − = − + −         L x n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . n n n j j j L x L x f x l x  = − =  j x  f x( j ) ( ) j l x

以 Lagrange插值为例,设数据真值f=f(x)被代之 以含有误差()的了=f()-5f(x),因而基于精确 数据的 Lagrange插值公式L(x)被代之以实际得到的 公式L(x) 1 精确值f=f(x) f f2 f L2(x) 非精确值子=f fr

于是最终的插值误差为 f(x)-L(x)=[f(x)-L2(x)+[L2(x)L(x) 由讲义第168页插值公式(6知,上式右端第二项为 L,(x)-Ln()=2of(=),(x) 这表明结点x处的数据误差(x)通过插值基函 数/(x)放大和扩散

owenS 更何况,如果被插函数有奇点,甚至只要解析延拓到 复平面有隐秘奇点出现,则当为声冰多项式时误 差放大和扩散 还将助长很可怕 的强振荡! 1.5 展示 Runge现 i P cr) 0 象的著名例子就 清楚地描述了这 P 0.5 种振荡(右图) J+25xop

更何况,如果被插函数有奇点,甚至只要解析延拓到 复平面有隐秘奇点出现, 则当 为高次多项式时,误 差放大和扩散 还将助长很可怕 的强振荡! 展示Runge现 象的著名例子就 清楚地描述了这 种振荡(右图). WuHan University ( ) j l x

Ew ttan Wrvirenron 相同数据3次样条插值与 Lagrange插值效果比较 f(x)4 f(x)4 s1011213 101112 Cubic spline Interpolation Lagrangr Interpolation

相同数据3次样条插值与Lagrangr插值效果比较 Cubic Spline Interpolation Lagrangr Interpolation WuHan University

bM孔uve 如果采用分段多项式插值,则由于插值基函数只 是局部活跃(它们的支集是局部紧致的),结点上的误 差可以被控制在小的范围内,因而也带来了内在的高 度稳定性.这是分段插值的一大优势! 许多实际问题希望插值函数具有较高阶的整体光 滑性.此时,高次 Hermite插值或分段高次 Hermite插 值可以利用(注意:分段高次 Lagrange插值和 Newton插 值等是做不到的在插值结点上它们只能保证插值函 数连续) 注:函数的S叫p定义为 Supf={x|(x)≠Q}

如果采用分段多项式插值, 则由于插值基函数只 是局部活跃(它们的支集是局部紧致的), 结点上的误 差可以被控制在小的范围内,因而也带来了内在的高 度稳定性. 这是分段插值的一大优势! 许多实际问题希望插值函数具有较高阶的整体光 滑性. 此时, 高次Hermite插值或分段高次Hermite插 值可以利用(注意:分段高次Lagrange插值和Newton插 值等是做不到的,在插值结点上它们只能保证插值函 数连续). 注:函数 的支集 Supp 定义为 Supp WuHan University f x( ) f f x f x =   ( ) 0 .

e 但高次 Hermite插值在许多场合中看不中用! 提高 Hermite插值多项式的次数就要增加约束条件 —给出插值结点处被插函数及其直到足够高阶 导数之值 作为约束条件的所有数据都是通过观测得到的而 观测总难免有误差 于是高次插值不仅增添了数据准备和计算的困 难也将导致更大的误差

但高次Hermite插值在许多场合中看不中用! •提高Hermite插值多项式的次数就要增加约束条件 ——给出插值结点处被插函数及其直到足够高阶 导数之值. •作为约束条件的所有数据都是通过观测得到的,而 观测总难免有误差. 于是 高次插值不仅增添了数据准备和计算的困 难,也将导致更大的误差. WuHan University