武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第五章 函数逼近（5.1）最佳一致逼近

第五章函数逼近 (Approximating Function 邹秀芬 武汉大学数学与统计学院

第五章 函数逼近 (Approximating Function) 邹秀芬 武汉大学数学与统计学院

5.1引言 函数逼近用比较简单的函数代替复杂的 函数 >误差为最小,即距离为最小(不同的度 量意义) 举例:对被逼近函数f(x)= sgrt(x)在区间 [0,1]上按三种不同的逼近方式求其形 如 p1(x)=ax+b 的逼近函数

5.1 引言 ➢函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的 函数 ➢误差为最小，即距离为最小（不同的度 量意义） 举例：对被逼近函数f(x)=sqrt(x）,在区间 ［0，1］上按三种不同的逼近方式求其形 如 p1 (x)=ax+b 的逼近函数

解(1)按插值法,以X=0,x1=1为插值节点 对f(x)作一次插值所得形如(1)式的p1(x)是 p1(x=X ②按下列的距离定义 dis(f(x),p1(x))=f(x)-p1(x)lo0=maxf(x)-P1(x) 的意义下,在P1[0,1]中求得与f(x)的距离最小的 形如(1)式的p1(x)是p1(x)=X+1/8 θ按距离dis(f(x),p1()=|f(x)-p1(×)川2 =(∫of(x)-p1(×)2dx)12 的意义下,在P1[0,1]中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p1(X)是 p1()=4/5X+4/15

解 （1)按插值法，以x0＝0, x1＝１为插值节点 对f(x) 作一次插值所得形如(1)式的p1 (x)是 p1 (x)=x. dis(f(x),p1 (x))=‖f(x)-p1 (x)‖∞=max|f(x)-p1 (x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的 形如(1)式的p1 (x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1 (x)‖２ =(∫0 1[f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p１(x) p１(x)=4/5x+4/15

可见,对同一个被逼近函数,不同距离意 义下的逼近,逼近函数是不同的

可见，对同一个被逼近函数，不同距离意 义下的逼近，逼近函数是不同的

预备知识: Chebyshev多项式及其应用 Chebyshev多项式及其性质 定义1称Tn(x)=cos(nare 为n次 Chebyshev多 t is very important 定义2(交错点组)右图数 某一区间 [ab]上存在n个点{yk=1,使得 ①|f(×小=max|f(x)|叫l|f(x)川l。,k=1,2,…,m; ②-f()=f(Xk+1),k=12,,n-1, 则称点集{xk=为函数f(x)在区间[a,b]上的一个 交错点组,点Xk称为交错点组的点

Chebyshev多项式及其应用 Chebyshev多项式及其性质 定义1 称Tn(x)=cos(n arccosx),|x|≤1 为n次Chebyshev多项式 定义2(交错点组) 若函数f(x)在其定义域的某一区间 ［a,b］上存在n个点{xk } n k=1， ①|f(xk )|=max|f(x)|=‖f(x)‖∞，k=1，2，…，n; ② -f(xk )=f(xk+1)，k=1,2,…，n-1, 则称点集{xk } n k=1为函数f(x)在区间［a,b］上的一个 交错点组，点xk称为交错点组的点. It is very important 预备知识：

Chebyshev多项式的性质 性质1n次 Chebyshev多项式Tn()的首项系数为 2n-1 性质2n次 Chebyshev多项式相邻三项有递推关系 To(x)=1T1(X)=x, 性质3 chebyshev多项式序列{Tk(x)k=0 在 1]上满足 T(x)In(x) ax={x,当m=n=0 x 当m=n≠0 2

Chebyshev多项式的性质 性质1 n次Chebyshev多项式Tn(x)的首项系数为 2n-1 性质2 n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系 ： T0 (x)=1,T1 (x)=x, Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1 (x),n=1,2,…

2k-1 性质6当=Co z(k=1,,n)时,Tx)=0 即{x1,…,xn}为Tn(x)的n个零点 性质8当l=C0Nz(k刪…,n)Tn(tk) 交错取到极大值1和极小值-1,即Tn(t1)=(-1)Tn(x)

性质6 当 时， 即 {x1 , …, xn } 为Tn (x)的n个零点。 2 1 cos ( 1, ... , ) 2 k k x k n n    − = =     ( ) = 0 n k T x 性质8 当 时， 交错取到极大值 1 和极小值−1，即 cos (k 0, 1, ... ,n) n k t k  =      =  ( ) n k T t = −  T (t ) ( 1) ||T (x)|| n k n k

denote m(x)=ln(r) 显然T(是首项系数为1的n次 Chebyshev多项式 又若记 为一切定义在[-1,1]上首项系数为1 的n次多项式的集合

denote 显然 是首项系数为1的n次 Chebyshev多项式. 又若记 为一切定义在［－１，１］上首项系数为1 的n次多项式的集合 * ( ) T x n * 1 ( ) ( ) 2 n n n T x T x − = * [ 1,1] P n −

性质9在B[-1,1中,7(x)的 无穷模‖r;(x)‖最小,即 Tm(x)l≤‖P2(x) 对任意p(x)∈P[1,1)成立 这个性质,称为 Chebyshev多项式最小模性 质

这个性质，称为Chebyshev多项式最小模性 质. * * * * || ( ) || ( ) ( ) [ 11] n n n n T x p x p x P    对任意  − ，成立

Chebyshev多项式的应用 多项式降次( reduce the degree of polynomial with a minimal loss of accuracy 设f(x)≈Pn(x)在降低Pn(x)次数的同时,使 因此增加的误差尽可能小,也叫 economize tion of power series。 从P中去掉一个含有其最高次项的P,结果降 次为,则: max f(x)_(x) s max f(x)-P (x) +max P(x) -1,1 l1,1 I-1,1 设P的首项系数为n,则取E(x)=a,x可使 精度尽可能少损失。 因降次而增的误差

➢ Chebyshev 多项式的应用 —— 多项式降次( reduce the degree of polynomial with a minimal loss of accuracy) 设 f (x)  Pn (x)。在降低 Pn (x) 次数的同时, 使 因此增加的误差尽可能小, 也叫 economiza￾tion of power series。 从 Pn中去掉一个含有其最高次项的 , 结果降 次为 , 则： Pn ~ Pn−1 max | ( ) ( )| max | ( ) ( )| max | ( )| [ 1,1] [ 1,1] 1 [ 1,1] f x P x f x P x P x n n n − − − − − +  − ~ 因降次而增的误差 设 Pn 的首项系数为an，则取 可使 精度尽可能少损失。 1 2 ( ) ( ) − =  n n n n T x P x a