武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第四章 插值法（4.4）牛顿插值和Hermite插值

544牛顿插值( Newton's Interpolation) Lagrange插值虽然易算,但若要增加· 个节点时,全部基函数l(x)都需要重新 计算。 能否重新在Pn中寻找新的基函数? 希望每加一个节点时,只附加一项上去即可

§4.4 牛顿插值 （Newton’s Interpolation ） Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一 个节点时，全部基函数l i (x) 都需要重新 计算。 能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时，只附加一项上去即可

本讲主要内容 Newton插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 ●等距节点 Newton插值公式

本讲主要内容: ● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式

基函数 {1,x-xmp(x-x(x-x)…,(x-x)(x1)…(xxm) 是否构成Pn的一组基函数? N(x)=A4+A(x-x)+Ax-x)(x-x)+…+A,(x-x0).(x-x 利用插值条件Nx)=xy,=0,1,…,m代入上式 得关于A(k=0,1,…,m的线性代数方程组

｛1,x - x0 ,(x - x0 )(x - x1 )，…，(x-x0 )(x-x1 )… (x-xn-1 )｝ 是否构成Pn的一组基函数？ 0 1 0 2 0 1 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ... ( )...( ) N x A A x x A x x x x A x x x x n n n− = + − + − − + + − − 利用插值条件Nn (xj )=f(xj ), j=0,1，…，n代入上式， 得关于Ak (k=0,1，…，n)的线性代数方程组 基函数

0 0 4)(f(x) 1x,-x 0 XI ∏I(x-x) f(n) i=0 当x;互异时,系数矩阵非奇异,且容易求解

0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 ( ) 1 0 ( ) 1 ( ) ( ) n n i n n i A f x x x A f x x x x x A f x − =        −            =              − −        当xj 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解

A6=f(x0) 了(x1)-f(x) f(x2)-f(x)f(x)-f(x)/x2-x) 0 It is not a difficult thing for a mathematician We can use notation How complex the expression are

1 0 1 1 0 f x f x ( ) ( ) A x x − = − 2 1 1 0 2 2 0 2 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /( ) f x f x f x f x A x x x x x x − − = − − − − How complex the expression are! It is not a difficult thing for a mathematician. We can use notation 0 0 A f x = ( )

>差商(亦称均差)/ divided difference 几,x1=(x)f(x)(≠x≠x)称为在x处的阶差商 C fx,x: -fx, fl i,x,x= x:一式 ≠)称为在x2xxk处的阶差商 k k阶差商 1]-f[x 01 k

➢ 差商(亦称均差) /* divided difference */ ( , ) ( ) ( ) [ , ] i j i j i j i j i j x x x x f x f x f x x   − − = 称为在xi ,xj处的1阶差商 ( ) [ , ] [ , ] [ , , ] i k x x f x x f x x f x x x i k i j j k i j k  − − = 称为在xi ,xj ,xk处的2阶差商 k阶差商： 0 1 1 1 2 0 1 0 [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] k k k k f x x x f x x x f x x x x x − − = −

利用插值条件和差商,可求出Nn(X)的系数A 4o=f(x0)=f[x] fIxo, x, n=f[x2x12…,xn] N(x)=f(x)+x,x(x-x)+…+x…,x1x)x-x)x-xn)

利用插值条件和差商,可求出Nn (x)的系数 Ai : 0 0 1 0 0 0 1 1 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) ( ) N x f x f x x x x f x x x x x x x x n n n− = + − + + − − − 0 0 0 1 0 1 0 1 ( ) [ ] [ , ] [ , , , ] n n A f x f x A f x x A f x x x = = = =

N(x)=f(x0) N(x)=f(x)+fx2x](x-x0)=N0(x)+[x0,x1(x-x) N+(x)=N(x)+f(x2…,xk+](x-xx-x)…(x-x) 因此,每增加一个结点, Newton插值多项式只增 加一项,克服了 Lagrange插值的缺点

0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ( ) [ , ]( ) ( ) ( ) [ , , ]( )( ) ( ) k k k k N x f x N x f x f x x x x N x f x x x x N x N x f x x x x x x x x + + = = + − = + − = + − − − 因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增 加一项，克服了Lagrange插值的缺点

差商表 xkf(x)一阶差商二阶差商三阶差商 n阶差商 X, f[x] fxo, x, x2 fIx,] f,,x f[xo x,x, x3f[x3]f[x2,x3]f[x1,x2,x3] f(x,x1,x2,x3] flxm-, xn,x,] f[ x,1 fro,x-x, " n]

. xk f(xk ) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …… n 阶差商 差商表 1 2 3 o n x x x x x 0 1 2 3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n f x f x f x f x f x 0 1 1 2 2 3 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] n n f x x f x x f x x f x x − 0 1 2 1 2 3 2 1 [ , , ] [ , , ] [ , , ] n n n f x x x f x x x f x x x − − 0 1 2 3 3 2 1 [ , , , ] [ , , , ] n n n n f x x x x f x x x x − − − 0 1 [ , , , ] n f x x x

例1:给定f(x)=nx的数据表 X;2.202.40260280300 f(x)0.788460.875470.955511.02962109861 1构造差商表 2分别写出二次、四次 Newton插值多项式 解:差商表 f[x]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 2.200.78846 2.400.875470.43505 2.600.955510.400100.087375 2.801.029620.370550.0738750.02250 3.001098610.344950.06400001646-0.00755

例1:给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi ) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.分别写出二次、四次Newton插值多项式 解:差商表 3.00 1.09861 0.34495 0.06400 0.01646 0.00755 2.80 1.02962 0.37055 0.073875 0.02250 2.60 0.95551 0.40010 0.087375 2.40 0.87547 0.43505 2.20 0.78846 [ ] − − − xi f xi 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商