武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第八章 常微分方程的数值方法（8.1）单步法

第八章常微分方程的数值方法 Numerical Methods for Ordinary Differential Equations 常微分方程分为 (1)初值问题(81节) (2)边值问题(82节)

第八章 常微分方程的数值方法 （Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ） 常微分方程分为 （1）初值问题（8.1节) （2）边值问题（8.2节)

81初值问题的数值方法 ˉ阶常微分方程初值问题的一般形式是: ∫y=f(x ,少),a<x<b D={(x,y)a≤x≤b,csy≤d}

一阶常微分方程初值问题的一般形式是: 0 ( , ), (1) ( ) {( , ) , } y f x y a x b y a y D x y a x b c y d   =     = =     8.1 初值问题的数值方法

称fxy)在区域D上对满足 Lipschitz条件是指 彐L>0s.t f(x,yi)-f(x,y2)<Lv-y2l Vx∈[a,b],y1,y2∈[c,d]

称f(x,y)在区域D上对y满足 Lipschitz条件是指: 1 2 1 2 1 2 0 . . ( , ) ( , ) , [ , ], , [ , ] L s t f x y f x y L y y x a b y y c d   −  −   

利用 Picaro逼近容易证明 Th811若f(xy)在区域D上连续, 且对y满足 Lipschitz条件则初值 可题(1)在[a,b]上存在唯一的连 续可微解y

利用Picard逼近容易证明: Th8.1.1 若f(x,y)在区域D上连续, 且对y满足Lipschitz条件,则初值 问题(1)在[a,b]上存在唯一的连 续可微解y

利用 Gronwall等式易证解连续依赖于 初值条件: Th812设f(x,y)在D上连续,且对y满足 Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 ∫y=f(x,y),ax<b y(a=s 的解,则有 y(xs)-y(x;2)≤ex°-S2

利用Gronwall不等式易证解连续依赖于 初值条件: ( ) 1 2 1 2 Th8.1.2 ( , ) ( ; ) ( ; ) . L x a f x y D y x s y x s e s s −     −  − 设 在 上连续,且对y满足Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 y =f(x,y),a<x<b y(a)=s 的解,则有

定理812的意义在于:若初值问题(1),(2) 中的初始值有一微小扰动,则解的扰动 也是微小的,也就是解连续依赖于初始 条件.通常将具有这种特性的初值问题 称为是适定的 (稳定的)

定理8.1.2的意义在于：若初值问题(1)，(2) 中的初始值有一微小扰动，则解的扰动 也是微小的，也就是解连续依赖于初始 条件．通常将具有这种特性的初值问题 称为是适定的． （稳定的）

数值解和精确解 用数值方法求解初值问题,不是求出它的解析解 或其近似解析式,而是给出它的解在某些离散 节点上的近似值 用y(×)表示问题(①1),(2)的准确解 yxo)yx1)y(X)表示解y(x)在节点xX1x…,X处 的准确值 yoy1yN表示数值解,即问题(1),(2)的 解y(×)在相应节点处的近似值

数值解和精确解 用数值方法求解初值问题，不是求出它的解析解 或其近似解析式，而是给出它的解在某些离散 节点上的近似值 用y(x)表示问题(1)，(2)的准确解 y(x0 ), y(x1 ),y(xN) 表示解y(x)在节点x0 , x1 ,…, xN处 的准确值 y0 ,y1 ,…,y N表示数值解，即问题(1)，(2)的 解y(x) 在相应节点处的近似值

单步法和多步法 单步法:在计算y1时只利用y 多步法:在计算yn1时不仅利用y;,还要利用 y1-1,yi-2 k步法:在计算y+1时要用到yy1-1…y1-k+1 显式计算公式可写成yk+1=y+hxk,ykh) 隐式格式:yk+1=yk+h+(Xk,ykyk+:h) 它每步求解y+需要解一个隐式方程

单步法和多步法 单步法：在计算yi+1 时只利用y i 多步法：在计算yi+1 时不仅利用y i , 还要利用 yi−1, yi−2,…, k步法：在计算yi+1 时要用到yi ,yi−1,…,yi−k+1 显式计算公式可写成:yk+1=yk+hΦf (xk，yk ;h） 隐式格式:yk+1=yk+hΦf（xk，yk ,yk+1;h） 它每步求解yk+1需要解一个隐式方程

812单步法 Euer方法 Eule方法是一种最简单的单步法 a=x<x1<x2<……<x1<N=b, b-a xo+jh, h 99

一. Euler方法 0 1 2 1 0 , , , 1,2, , . N N j a x x x x x b b a x x jh h j N N =      = − − = + = = 8.1.2 单步法 Euler方法是一种最简单的单步法

用差商近似导数→y(x0)≈ y(x1)-y(x) y(xay(xo)+hy(ro)=yo+hf(xo, yo) 记为 +hf(x,y30) Euer公式程,得到 千h∫(x1,y)(=0,…,n-1 从而得到求解初问题(1),(2)的公式 1yn=y+/(x,y2);=0,1,…,N-1

0 0 1 ( ), i i i i ( , ), 0,1, , 1 y y x y y hf x y i N +  =   = + = − 用差商近似导数 h y x y x y x ( ) ( ) ( ) 1 0 0 −   x0 x1 ( ) ( ) ( ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 y x  y x + hy x = y + h f x y ( , ) ( 0, ... , 1) yi+1 = yi + h f xi yi i = n − 继续这一过程，得到 1 0 0 0 y y h f x y = + ( , ) 记为 从而得到求解初值问题(1)，(2)的公式 Euler公式