电子科技大学：《电磁场与波》第一章（1.5）亥姆霍兹定理

1.5亥姆霍兹定理 、亥姆霍兹定理 在有限区域内,任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界 条件(即矢量场在有限区域边界上的分布)唯一确定。这就是 亥姆霍兹定理的内容。 、矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类 ■和场 若矢量场F()在某区域V内,处处有:VF=0和V×F=0 则在该区域V内,场F()为调和场。 皇 注意:不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。 4<

1.5 亥姆霍兹定理 一、亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界 条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是 亥姆霍兹定理的内容。 二、矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类： 调和场 若矢量场 在某区域V内，处处有： 和 则在该区域V内，场 为调和场。  = F 0   = F 0 F r( ) F r( ) 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场

■源无旋场 若矢量场F()在某区域内,处处VxF=0,但在某 些位置或整个空间内,有VF=p≠0,则称在该区域v 内,场F(F)为有源无旋场。 童 讨论:由于旋度为零,由斯托克斯定理 F(rod=0 结论:有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源 无旋场也称保守场。 ■呒源有旋场 若矢量场F(F)在某区域V内,处处ⅴF=0,但在某 些位置或整个空间内,有VxF=≠0,则称在该区域v 内,场F(r)为无源有旋场。 说明:式中J为矢量场漩涡源密度

有源无旋场 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某 些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V 内，场 为有源无旋场。  =  F  0   = F 0 F r( ) F r( )( ) 0 c F r dl =  结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源 无旋场也称保守场。 无源有旋场 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某 些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V 内，场 为无源有旋场。 F r( )  = F 0   =  F J 0 F r( ) 讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度

■有源有旋场 若矢量场F(P)在某区域V内,在某些位置或整个空间内, 有vF=p≠0和VxF=J≠0,则称在该区域呐内, 场F(F)为有源有旋场。 有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加,即: F(F)=F1(F)+F,(F) ∫v,F()=pV.F()=0 vxFG)=01v×F()=7 VF()=V()=pV×F(F)=V×F3(F)=J 亥姆霍茲定理在电磁理论中的意义:研究电磁场的一条主线。 矢量f通量源密度 电荷密度ρ 已知 矢量f的旋度源密度在电磁场中 电流密度J(矢量雅唯一地确定 场域边界条件 场域边界条件 4<p

已知 矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件 在电磁场中 电荷密度 电流密度J 场域边界条件 （矢量A唯一地确定） 有源有旋场 若矢量场 在某区域V内，在某些位置或整个空间内， 有 和 ，则称在该区域V内， 场 为有源有旋场。 F r( )  =  F  0   =  F J 0 F r( ) 有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即： ( ) ( ) ( ) F r F r F r = + i s ( ) ( ) 0 i i F r F r   =      = ( ) 0 ( ) s s F r F r J   =     = ( ) ( )   =  = F r F r l  ( ) ( )  =  = F r F r J s 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线