电子科技大学：《电磁场与波》第一章（1.4）标量场的梯度

1.4标量场的梯度 等值面(线) 由所有场值相等的点所构成的面(线),即为等值面(线)。即 若标量函数为=l(x,y,)则等值面方程为:a+△ u(x,y, z)=c=const en 标量场的梯度 梯度描述了空间某点处标量场l(x,y,z)随位置变化的规律。 梯度的定义 gradu(x,y, z)=gre, max 式中:a为垂直于等值面(线)的方向。 梯度的性质 →标量场的梯度为一矢量,且是坐标位置的函数 标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律:方向为标

1.4 标量场的梯度 一. 等值面（线） 由所有场值相等的点所构成的面(线)，即为等值面(线)。即 若标量函数为 u u x y z = ( , , ) ，则等值面方程为： u x y z c const ( , , ) = = 二. 标量场的梯度 梯度的定义 max ( , , ) l u gradu x y z e l  =   式中： el 为垂直于等值面（线）的方向。 梯度的性质 标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数 标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标 量场增加最快的方向，幅度表示标量场的最大增加率 梯度描述了空间某点处标量场 u x y z ( , , ) 随位置变化的规律。 u P N l e M u u + n e

■“梯度的运算 直角坐标系下 grau= +—e.+ x e, +, toe )u=Vi 柱面坐标系中 I au au Vu=-e +--e +-e ar r ao°a 在球面坐标系中 au 10t Vu=-e+ e t ra0 rsin 0 a

梯度的运算 1 r z u u u u e e e r r z       = + +    1 1 sin r u u u u e e e r r r          = + +    ( ) x y z x y z u u u gradu e e e x y z e e e u x y z    = + +       = + +    = u 在球面坐标系中 柱面坐标系中 直角坐标系下

梯度的重要性质 V×Vu≡0—标量场的梯度恒等于零。 明: 左边=(++2)×[+y+已] dx ay z z 02u )e+( ayaz azo azax axa OXo ayor 0

三. 梯度的重要性质   u 0 标量场的梯度恒等于零。 [ ] x y z x y z u u u e e e e ye e x y z x z z       +  + +       证明： 左边=( + ) 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ( ) ] 0 x y z u u u u u u e e e y z z y z x x z x y y x       = − + − + −             =