电子科技大学：《电磁场与波》第三章（3.3）泊松方程、拉普拉斯方程

3.3泊松方程拉普拉斯方程 补充內容:拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作 VVu=vu 式中:“V2”称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中: 02u02a 矢量场的拉普拉斯运算 V2F=V(vF)-V×(V×F) 在直角坐标系中: VF=eVe teVa +eVF 柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录

3.3 泊松方程 拉普拉斯方程 柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。 标量场的拉普拉斯运算 在直角坐标系中： 222 2 2 2 2 uuu u x y z   = + +    矢量场的拉普拉斯运算 2  =   −  F F F ( ) ( ) 在直角坐标系中： 2 2 2 2  =  +  +  F e F e F e F x x y y z z 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作： 2   =  u u 2 式中： “ ” 称为拉普拉斯算符。 补充内容：拉普拉斯运算

、静电场电位方程的建立 V.E=P0}→-vV=p|6o E=-VO 即:V2(=-0/cn电位的泊松方程 在无源区域,p=0 V0=0 电位的拉普拉斯方程 二、电位方程的应用 可用于求解静电场的边值问题

一、静电场电位方程的建立 0 E / E     =   = −  0  −  =   / 即： 2 0  = −   / 电位的泊松方程 在无源区域， 2  =  0 电位的拉普拉斯方程  = 0 二、电位方程的应用 可用于求解静电场的边值问题。  

例半径为a的带电导体球,已知球体电位为U, 求空间电位分布及电场强度分布。 解法一:导体球是等势体。 时 E=-V=0 a时 U q=0 +C2 o=n=U→10==U U→9 0 0 0 r→ r→0 r→)0 0,e。aU E=LV 6 )() ar r ae raine ae

半径为a的带电导体球，已知球体电位为U， 求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等势体。 r a  时： 0 U E    =   = − = 例 r a  时： 2 0 0 r a r U    = →  =   =   =  2 2 1 ( ) 0 0 r a r d d r r dr dr U    = →  =    =   =   1 2 0 r a r c c r U    = →  = − +    =   =   aU r  =  E = − ( )( ) sin r e e aU e r r r r         = − + +    r 2 aU e r =

解法二:电荷均匀分布在导体球上,呈点对称。 设导体球带电总量为Q,则可由高斯定理求得,在球外空间,电坛 强度为: E 4Ter U= Edr →Q=4xEaU 4I8o r 4re al E =「Eb=」 ∞aU

解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为： 2 0 4 r Q E e  r = 0 0 1 ( ) a 4 4 a Q Q U E dr   r a    = = − =  0  = Q aU 4 2 r aU E e r  = 2 r r aU E dr dr r     = =   aU r =

露 小结:求空间电场分布的方法 1、场源积分法 积分困难,对大多数问题不能得出解析解。 2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题 3、间接求解法 先求解空间电位分布,再求解空间电场。 在实际工程应用中,间接求解法应用最为广泛,适用于边值 问题的求解

1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值 问题的求解。 小结：求空间电场分布的方法