电子科技大学：《电磁场与波》第一章（1.3）矢量场的通量散度

12矢量场的通量散度 矢量线(力线 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 、矢量场的散度 若矢量场4(八)分布于空间中,在 空间中取任意曲面S,定义: Φ=∫、A()·dS 为矢量A(r沿有向曲面S的通量。 若S为闭合曲面 ④=dA(F).dS 矢量场的通量 物理意义:表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和

1.2 矢量场的通量 散度 一、矢量线（力线） 矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 若S 为闭合曲面 ( ) s  =  r d  A S ( ) S  =   A S r d 若矢量场 分布于空间中，在 空间中取任意曲面S，定义： A r( ) 为矢量 A r( ) 沿有向曲面S 的通量。 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 二、矢量场的散度

讨论:■面元矢量S定义:面积很小的有向曲面 dS:面元面积,其值可认为无限小; n:面元法线方向,垂直于面元平面。 Φ=中A(r)cos(r)s S ds ■通过闭合面S的通量的物理意义 若D>0,闭合面内有产生矢量线的正源 若0

( ) cos ( ) s  = A r r ds   dS n 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面 dS ：面元面积，其值可认为无限小； n ：面元法线方向，垂直于面元平面。 通过闭合面S的通量的物理意义 若   0 ，闭合面内有产生矢量线的正源 若   0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源 若  = 0 ，闭合面内无源 三、矢量场的散度 散度的定义 在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为： A r( ) V A r( ) 0 ( ) div ( ) lim A S A s V r d r  → V  =   讨论：

散度的物理意义 →矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 ◆矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 (dvF()=p>0正)dhvF()=p<0负娠) (dvF(F)=0无娠) 讨论:在矢量场中, 若div4(r)=p≠0,则该矢量场称为有源场,p为源密度 若dln我(F)=0处处成立,则该矢量场称为无源场

散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 若 divA r( ) 0 =   ，则该矢量场称为有源场，为源密度 若 divA r( ) 0 = 处处成立，则该矢量场称为无源场 讨论：在矢量场中， ( divF r( ) 0 =   正源) divF r( ) 0 =   负源) ( divF r( ) 0 = 无源）

散度的计算 直角坐标系下: OA OA, aA. diva(r) (e te, +e.)(e A+e,,+eA. ax V·A(F) O 式中:V=(x+e,+e2-)—哈密顿算符 圆柱坐标系下: 1 +e2-) ar raaz w.02=1aA)+101+ r ar r a

( ) x y z A A A divA r x y z    = + +    ( ) ( ) x y z x x y y z z e e e e A e A e A x y z    = + + + +    =  A r( ) 式中： ( ) x y z e e e x y z     = + +    哈密顿算符 散度的计算 直角坐标系下： 圆柱坐标系下： 1 ( ) r z e e e r r z       = + +    1 1 ( ) ( ) r z rA A A A r r r r z       = + +   

球面坐标系下 r ae raine a OA VA4(7)=2(r2A)+ (Sin 0Ae)+ raine ae rsin 0 a 四、散度定理(矢量场的高斯定理) 「v.OM=小A,S 该公式表明了矢量场F(r)的散度在体积V内的积分等于矢量场在 限定该体积的边界面S上的积分(通量)。 散度定理的证明

1 1 ( ( ) ) sin r e e e r r r          = + +    2 2 1 1 1 ( ) ( ) (sin ) sin sin r A A r r A A r r r r            = + +    球面坐标系下： 四、散度定理（矢量场的高斯定理） ( ) ( ) V s  = A r dV A r dS   该公式表明了矢量场 的散度在体积V内的积分等于矢量场在 限定该体积的边界面S上的积分（通量）。 F r( ) 散度定理的证明

散度定理的证明 从散度定义有: A(rods m =linAΦd △->0 △ △→少0△a 则在一定体积V内的总的通量为: d=LV.A(r)dv =小 A(r)ds S 得证!

散度定理的证明 从散度定义有： 0 0 ( ) ( ) lim lim s V V A r dS d A r  →  → V V dV    = = =    则在一定体积V内的总的通量为： ( ) V  =  A r dV  得证！ ( ) s = A r dS 