北京大学：《数学物理方法》精品课程电子教案（A类）第一部分 复变函数_第11讲 留数定理及其应用（一）

Outline 第十 讲 留数定理及其应用(一) 北京大学物理学院 数学物理方法课程组 2007年春

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Outline 讲授要点 ③留数定理 留数定理 留数定理的初步应用 无穷远点处的留数 ③留数定理计算定积分 有理三角函数的积分 无穷积分

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Outline 讲授要点 ③留数定理 留数定理 留数定理的初步应用 无穷远点处的留数 ②留数定理计算定积分 有理三角函数的积分 无穷积分

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E valuation of Definite Inte References 吴崇试,《数学物理方法》,§7.1-7.3 梁昆淼,《数学物理方法》,§4.1,4.2 胡嗣柱、倪光炯,《数学物理方法》,§5.1, 5.2.5.3

Residue theorem Evaluation of Definite Integrals References ÇÂÁ§5êÆÔn{6§§7.1 — 7.3 ù&œ§5êÆÔn{6§§4.1, 4.2 nÎ!X1Á§5êÆÔn{6§§5.1, 5.2, 5.3 C. S. Wu 1›ù 3ê½n9ÙA^()

Evaluation of Def 讲授要点 ③留数定理 ●留数定理 留数定理的初步应用 无穷远点处的留数 留数定理计算定积分 有理三角函数的积分 无穷积分

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Evaluation of Def 留数的引入 在环形区域R1≤|z-b≤R2内单值解析的函 数f(z),可以在该区域内展开成 Laurent级数 f(a=2 an(z-b)" R1<|z-b<R2 f() an (-b)2 这是 Laurent级数的定义,但实用上很少利用这 个定义去计算展开系数,更多情况下从别的

Residue theorem Evaluation of Definite Integrals Residue theorem Some Applications of Residue Theorem Residue at Infinity 3êÚ\ 3‚/«R1 ≤ |z − b| ≤ R2SüŠ)Û¼ êf(z)§ Œ±3T«SÐm¤Laurent?ê f(z) = P ∞ n=−∞ an(z − b) n R1<|z−b|<R2 an = 1 2πi I C f(ζ) (ζ − b) n+1dζ ù´Laurent?ê½Â©¢^þé|^ù ‡½ÂOŽÐmX꧍õœ¹elOå» N´¦ÑXê C. S. Wu 1›ù 3ê½n9ÙA^()

Evaluation of Def 留数的引入 在环形区域R1≤|z-b≤R2内单值解析的函 数f(z),可以在该区域内展开成 Laurent级数 f(a=2 an(z-b)" R1<|z-b<R2 f() an (-b)2+1 这是 Laurent级数的定义.但实用上很少利用这 个定义去计算展开系数,更多情况下从别的途径 更容易求出系数

Residue theorem Evaluation of Definite Integrals Residue theorem Some Applications of Residue Theorem Residue at Infinity 3êÚ\ 3‚/«R1 ≤ |z − b| ≤ R2SüŠ)Û¼ êf(z)§ Œ±3T«SÐm¤Laurent?ê f(z) = P ∞ n=−∞ an(z − b) n R1<|z−b|<R2 an = 1 2πi I C f(ζ) (ζ − b) n+1dζ ù´Laurent?ê½Â©¢^þé|^ù ‡½ÂOŽÐmX꧍õœ¹elOå» N´¦ÑXê C. S. Wu 1›ù 3ê½n9ÙA^()

Evaluation of Def 留数的引入 在环形区域R1≤|z-b≤R2内单值解析的函 数f(z),可以在该区域内展开成 Laurent级数 f(a=2 an(z-b)" R1<|z-b<R2 f() an (-b)2+1 这是 Laurent级数的定义.但实用上很少利用这 个定义去计算展开系数,更多情况下从别的途径 更容易求出系数 尜

Residue theorem Evaluation of Definite Integrals Residue theorem Some Applications of Residue Theorem Residue at Infinity 3êÚ\ 3‚/«R1 ≤ |z − b| ≤ R2SüŠ)Û¼ êf(z)§ Œ±3T«SÐm¤Laurent?ê f(z) = P ∞ n=−∞ an(z − b) n R1<|z−b|<R2 an = 1 2πi I C f(ζ) (ζ − b) n+1dζ ù´Laurent?ê½Â©¢^þé|^ù ‡½ÂOŽÐmX꧍õœ¹elOå» N´¦ÑXê C. S. Wu 1›ù 3ê½n9ÙA^()

Evaluation of Def 留数的引入 但反过来应用上式,就可能用来计算积分 ds 2Ti 特别是,当n=-1时

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Evaluation of Def 留数的引入 但反过来应用上式,就可能用来计算积分 f() (-b) ds 2Ti 特别是,当n=-1时 f(sds=2Tia-l 在某些情况下,有可能这就是留数定理的基本 容易求得

Residue theorem Evaluation of Definite Integrals Residue theorem Some Applications of Residue Theorem Residue at Infinity 3êÚ\ ‡L5A^þª§ÒŒU^5OŽÈ© I C f(ζ) (ζ − b) n+1dζ = 2πian AO´§n = −1ž I C f(ζ)dζ = 2πia−1 3, œ¹e§kŒU N´¦a−1 ùÒ´3ê½nÄ gŽ C. S. Wu 1›ù 3ê½n9ÙA^()