北京大学：《数学物理方法》精品课程教学资源（作业习题）例卷Ⅱ 数学物理方程试题（评分标准及答案）

试题答案及评分标准 (2分) (2分) (1分) =(≌+1 (2分) (2分) 0,1,2,3, (1分) (2分) yn(a)=sinn,cosnr (2分) 0,1,2,3, (1分) A=l(+1 (2分) (x)=P(x) (2分) l=0,1,2,3, (1分)

☞✌✩✪✫✬✭✮✯ ✰✱ (20 ✲) (1) λn = nπ l 2 (2 ✲) yn(x) = sin nπ l x (2 ✲) n = 1, 2, 3, · · · (1 ✲) (2) λn =  2n + 1 l π 2 (2 ✲) yn(x) = sin 2n + 1 l πx (2 ✲) n = 0, 1, 2, 3, · · · (1 ✲) (3) λn = n 2 (2 ✲) yn(x) = sin nx, cos nx (2 ✲) n = 0, 1, 2, 3, · · · (1 ✲) (4) λl = l(l + 1) (2 ✲) yl(x) = Pl(x) (2 ✲) l = 0, 1, 2, 3, · · · (1 ✲) 12

( r t)=Cot Do+>Dn sin Co+>C Ju(a, t)=0+2 cos 分离变量X(x)的方程 (2分) (2分) T(t)的方程 (2分) 本征值问题λ (2分) (2分) n的取值 (1分) 特解Tn(t),T0(t (2分) (2分) (2分) (2分) (2分) (2分) 解式 (2分)

✳✱ (25 ✲) u(x, t) = C0t + D0 + X∞ n=1 h Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l ati sin nπ l x u    t=0 = D0 + X∞ n=1 Dn sin nπ l x = u0cos 2 π l x = u0 2  1 + cos 2π l x  ⇒ D0 = u0 2 , Dn = u0 2 δn2 ∂u ∂t    t=0 = C0 + X∞ n=1 Cn n l πa · sin n l πx ⇒ C0 = Cn = 0 u(x, t) = u0 2 + u0 2 cos 2π l x cos 2π l at ✲✴✵✶ X(x)✷✸✹ (2 ✲) ✺✻✼✽ (2 ✲) T(t)✷✸✹ (2 ✲) ✾✿❀❁❂ λn (2 ✲) Xn(x) (2 ✲) n✷❃❀ (1 ✲) ❄ ❅ Tn(t), T0(t) (2 ✲) ✰❆❅ (2 ✲) ❇❈❉ C0 (2 ✲) Cn (2 ✲) D0, D2 (2 ✲) Dn (n 6= 0, 2) (2 ✲) ❅ ❊ (2 ✲) 13

三、(20分)按相应齐次问题的本征函数展开 (r,0)=∑(r)P(cos) r R(0)有界R(a)=0 当l=1时,R1(r)=A1r+B1 R1()有界→B1=0 当l≠1时,B(r)=Ar2+Br4-1 R(0)有界→B=0 R(r)=0,l≠ (a)=0 Al=0 (2分) (2分) 本征函数 (2分) R(r)满足的微分方程 (2分) R(r)满足的边界条件 (2分) 时的解 (3分) ≠1时的解 (3分) 解式 (2分)

❋✱ (20 ✲) ●❍■❏❑❁❂✷ ✾✿▲❉▼◆ u(r, θ) = X∞ l=0 Rl(r)Pl(cos θ) 1 r 2 d dr  r 2 dRl dr  − l(l + 1) r 2 Rl = −4πrδl1 Rl(0)❖ ✻ Rl(a) = 0 P l = 1 ◗❘ R1(r) = A1r + B1r −2 − 2 5 πr3 ❘ R1(0)❖ ✻ ⇒ B1 = 0 R1(a) = 0 ⇒ A1 = 2 5 πa2 R1(r) = 2 5 π ￾ a 2 − r 2
P l 6= 1 ◗❘ Rl(r) = Alr l + Blr −l−1 ❘ Rl(0)❖ ✻ ⇒ Bl = 0 Rl(a) = 0 ⇒ Al = 0 Rl(r) = 0, l 6= 1 ❙❚ u(r, θ) = 2 5 π ￾ a 2 − r 2
r cos θ ❉❯❱❲❳❨ (2 ✲) ❅❂✸❩❳❨ (2 ✲) ❬❭❪ φ ❫❴ (2 ✲) ✾✿▲❉ (2 ✲) Rl(r) ❵❛✷❜✲✸✹ (2 ✲) Rl(r) ❵❛✷✺✻✼✽ (2 ✲) l = 1 ◗✷❅ (3 ✲) l 6= 1 ◗✷❅ (3 ✲) ❅ ❊ (2 ✲) 14

四、(15分)方法一代入 Bessel函数的级数表达式直接积分 e Jo(r)r dr Gm(2)/ea'p2antidr =(1) et dt Ly=)"(1) (3分) 逐项积分 (2分) 利用r函数计算积分 (5分) 求和 (5分) 方法二含参量积分法,令 (6)=/e-ar Jo(br)rdz e Ji( z): dr I(b)=Aexpi-4c 其中A=I(0)=1/2a.故 Jo(a)rdx=I(1)=aexp 方法的正确选择 (3分) 导出I(b)的微分方程 (4分) 解微分方程 (4分) 利用特殊值定积分常数 (2分) 求出所求积分 (2分)

❝✱ (15 ✲) ✸❩✰ ❞❡ Bessel ▲❉✷❢❉❱❣❊❤✐❥✲ Z ∞ 0 e −αx2 J0(x) x dx = X∞ n=0 (−) n n! n!  1 2 2n Z ∞ 0 e −αx2 x 2n+1 dx = X∞ n=0 (−) n n! n!  1 2 2n 1 2 Z ∞ 0 e −αt t n dt = X∞ n=0 (−) n n! n!  1 2 2n+1 n! αn+1 = 1 2α X∞ n=0 (−) n n!  1 4α n = 1 2α e −1/4α ✸❩✷❳❨❦❧ (3 ✲) ♠♥❥ ✲ (2 ✲) ♦♣ Γ ▲❉qr❥✲ (5 ✲) s t (5 ✲) ✸❩✳ ✉✈✶ ❥ ✲❩✇① I(b) = Z ∞ 0 e −αx2 J0(bx) x dx ② I 0 (b) = − Z ∞ 0 e −αx2 J1(bx) x 2 dx = 1 2α e −αx2 x J1(bx)    ∞ 0 − b 2α Z ∞ 0 e −αx2 J0(bx) x dx = − b 2α I(b) ❙❚ I(b) = A exp  − b 2 4α  , ③④ A = I(0) = 1/2α ✇⑤ Z ∞ 0 e −αx2 J0(x) x dx = I(1) = 1 2α exp  − 1 4α  . ✸❩✷❳❨❦❧ (3 ✲) ⑥⑦ I(b) ✷❜✲✸✹ (4 ✲) ❅ ❜✲✸✹ (4 ✲) ♦♣❄⑧❀❇❥✲⑨❉ (2 ✲) s⑦❙s❥✲ (2 ✲) 15

五、(20分)设 G(r,t; r, t)= G(a, p; r, t') 则定解问题变为 pG(E, p;r, t' G(a, p:r, t') (r, p;a',t 解之得 T<a B a sinh B 可以定出常数 于是, 查表,即得反演 G(, t; r, t') Ax(t-t) (t-t) Laplace变换,常微分方程定解问题 (4分) 解方程:x<x (2分) (2分) 连接条件:形式 (4分) 结果 (2分) 反演:n(t-t) 查表,得最后结果 (4分)

⑩✱ (20 ✲) ❶ G(x, t; x 0 , t0 ) ; G(x, p; x 0 , t0 ), ②❇❅❁❂✵❷    pG(x, p; x 0 , t0 ) − κ d2 d xG(x, p; x 0 , t0 ) = e−pt0 δ(x − x 0 ), G(x, p; x 0 , t0 )   x=0 = 0, G(x, p; x 0 , t0 )   x→∞ → 0. ❅❸❹ G(x, p; x 0 , t0 ) =    A sinhr p κ x, x x0 . ❺❻✐✼✽ G(x, p; x 0 , t0 )    x=x 0+0 x=x0−0 = 0, −κ d dx G(x, p; x 0 , t0 )    x=x 0+0 x=x0−0 = e −pt0 ❼ B exp  − r p κ x 0  − A sinh r p κ x 0 = 0, B exp  − r p κ x 0  + A cosh r p κ x 0 = 1 √κp e −pt0 , ❽❚❇⑦ ⑨ ❉ A = 1 √κp e −pt0 exp  − r p κ x 0  , B = 1 √κp e −pt0 sinh r p κ x 0 . ❾❿❘ G(x, p; x 0 , t0 ) =    1 √κp e −pt0 exp  − r p κ x 0  sinh r p κ x, x x0 , ➀❱❘ ❼❹➁➂ G(x, t; x 0 , t0 ) = 1 2 p κπ(t − t 0)  exp  − (x − x 0 ) 2 4κ(t − t 0)  − exp  − (x + x 0 ) 2 4κ(t − t 0)  η(t − t 0 ). Laplace ✵➃❘⑨❜✲✸✹❇❅❁❂ (4 ✲) ❅ ✸✹➄ x x0 (2 ✲) ❻✐✼✽➄➅❊ (4 ✲) ➆➇ (2 ✲) ➁ ➂ ➄ η(t − t 0 ) (2 ✲) ➀❱❘ ❹➈➉➆➇ (4 ✲) 16