北京大学：《数学物理方法》精品课程电子教案（A类）第二部分 数学物理方程_第12讲 内积空间与函数空间

Outline 第十 讲 内积空间与函数空间 北京大学物理学院 2007年春

Outline 1 ›  ù SÈm†¼êm ®ŒÆÔnÆ 2007cS C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

Outline 讲授要点 内积空间 内积与内积空间 正交性 完备性 函数的内积 函数的正交归一性 正交归一函数集的完备性

Outline ùLJ: 1 SÈm SȆSÈm 5 5 2 ¼êm ¼êSÈ ¼ê85 8¼ê85 C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

Outline 讲授要点 内积空间 内积与内积空间 正交性 完备性 函数空间 函数的内积 函数的正交归一性 ●正交归一函数集的完备性

Outline ùLJ: 1 SÈm SȆSÈm 5 5 2 ¼êm ¼êSÈ ¼ê85 8¼ê85 C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

References 吴崇试,《数学物理方法》,§18.1,18.2

Inner Product Space Function Space References ÇÂÁ§5êÆÔn{6§§18.1, 18.2 C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

讲授要点 内积空间 内积与内积空间 正交性 完备性 函数空间 函数的内积 函数的正交归一性 正交归一函数集的完备性

Inner Product Space Function Space Inner Product & Inner Product Space Orthogonality Completeness ùLJ: 1 SÈm SȆSÈm 5 5 2 ¼êm ¼êSÈ ¼ê85 8¼ê85 C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

n维矢量空间 定义 元素x,y,2,…(称为矢量)的集合称为实(复)矢量空间,如 果下列公理成立 1)任给一对失量x与0,有加 即存在对应的失量 ,称为x与y之和,具有下列性质 存在唯一失量0,使得对于每个,x+0 d)对于每个失量x,存在唯一矢量,记为一x,使得 C. S. Wu

Inner Product Space Function Space Inner Product & Inner Product Space Orthogonality Completeness n‘¥þm ½Â ƒx, y, z, · · · (¡¥þ)8Ü¡¢(E)¥þm§X Jeún¤á (1) ?‰é¥þx†y§k\{$Ž§=3éA¥þ x + y§¡x†yƒÚ§äke5Ÿµ (a) x + y = y + x (b) x + (y + z) = (x + y) + z (c) 3¥þ0§¦éuz‡x§x + 0 = x (d) éuz‡¥þx§3¥þ§P−x§¦ x + (−x) = 0 (2) ?‰¥þx9¢(E)êα§kê¦$Ž§=3éA ¥þαx§¦ (a) α(βx) = (αβ)x (b) (α + β)x = αx + βx (c) α(x + y) = αx + αy (d) 1x = x C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

n维矢量空间 定义 元素x,y,2,…(称为矢量)的集合称为实(复)矢量空间,如 果下列公理成立 (1)任给一对矢量r与y,有加法运算,即存在对应的矢量 x+y,称为x与y之和,具有下列性质 (a)a+y=y+a (b)x+(y+z)=(x+y)+z (c)存在唯一矢量0,使得对于每个x,x+0=x (d)对于每个矢量x,存在唯一矢量,记为一x,使得 +(-x)=0 (2)任给失量及实(复)数,有数乘运算,即存在对应的 失量Ox,使得 C. S. Wu

Inner Product Space Function Space Inner Product & Inner Product Space Orthogonality Completeness n‘¥þm ½Â ƒx, y, z, · · · (¡¥þ)8Ü¡¢(E)¥þm§X Jeún¤á (1) ?‰é¥þx†y§k\{$Ž§=3éA¥þ x + y§¡x†yƒÚ§äke5Ÿµ (a) x + y = y + x (b) x + (y + z) = (x + y) + z (c) 3¥þ0§¦éuz‡x§x + 0 = x (d) éuz‡¥þx§3¥þ§P−x§¦ x + (−x) = 0 (2) ?‰¥þx9¢(E)êα§kê¦$Ž§=3éA ¥þαx§¦ (a) α(βx) = (αβ)x (b) (α + β)x = αx + βx (c) α(x + y) = αx + αy (d) 1x = x C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

n维矢量空间 定义 元素x,y,2,…(称为矢量)的集合称为实(复)矢量空间,如 果下列公理成立 (1)任给一对矢量r与y,有加法运算,即存在对应的矢量 x+y,称为x与y之和,具有下列性质 (a)a+y=y+a (b)x+(y+z)=(x+y)+z (c)存在唯一矢量0,使得对于每个x,x+0=x (d)对于每个矢量x,存在唯一矢量,记为一x,使得 a+ 0 (2)任给矢量x及实(复)数a,有数乘运算,即存在对应的 矢量αx,使得 (a)a(Br)=(aB).c (b)(a+B)x=ar+Br N c)a(a+y)=a.c+ay(d) lc=c C. S. Wu

Inner Product Space Function Space Inner Product & Inner Product Space Orthogonality Completeness n‘¥þm ½Â ƒx, y, z, · · · (¡¥þ)8Ü¡¢(E)¥þm§X Jeún¤á (1) ?‰é¥þx†y§k\{$Ž§=3éA¥þ x + y§¡x†yƒÚ§äke5Ÿµ (a) x + y = y + x (b) x + (y + z) = (x + y) + z (c) 3¥þ0§¦éuz‡x§x + 0 = x (d) éuz‡¥þx§3¥þ§P−x§¦ x + (−x) = 0 (2) ?‰¥þx9¢(E)êα§kê¦$Ž§=3éA ¥þαx§¦ (a) α(βx) = (αβ)x (b) (α + β)x = αx + βx (c) α(x + y) = αx + αy (d) 1x = x C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

内积 可以把三维矢量空间中矢量的长度概念推广 到n维矢量空间 为此,先定义n维失量的内积

Inner Product Space Function Space Inner Product & Inner Product Space Orthogonality Completeness SÈ Œ±rn‘¥þm¥¥þÝVgí2 n‘¥þm d§k½Ân‘¥þSÈ 3êKþ½Â n‘¥þmV §§ ƒ(¥þ)^x, y, · · ·L« C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm

内积 可以把三维矢量空间中矢量的长度概念推广 到n维矢量空间 为此,先定义m维矢量的内积 设在数域上定义了n维失量空间V,它的元 素(矢量)用x,0表示

Inner Product Space Function Space Inner Product & Inner Product Space Orthogonality Completeness SÈ Œ±rn‘¥þm¥¥þÝVgí2 n‘¥þm d§k½Ân‘¥þSÈ 3êKþ½Â n‘¥þmV §§ ƒ(¥þ)^x, y, · · ·L« C. S. Wu 1›ù SÈm†¼êm