北京大学：《数学物理方法》精品课程电子教案（A类）第二部分 数学物理方程_第13讲 分离变量法总结

Outline 第十三讲 分离变量法总结 北京大学物理学院 2007年春

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Outline 讲授要点 ●Stum- liouville型方程的本征值问题 自伴算符的本征值问题 Sturm- Liouville型方程的本征值问题 Sturm- Liouville型方程本征值问题中的简并 现象 0从S-1型方程本征值问题看分离变量 分离变量法精义 分离变量法的发展

Outline ùLJ: 1 Sturm-Liouville.§Š¯K gŠŽÎŠ¯K Sturm-Liouville.§Š¯K Sturm-Liouville.§Š¯K¥{¿ y 2 lS-L.§Š¯Kw©lCþ{ ©lCþ{°Â ©lCþ{uÐ C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

Outline 讲授要点 ●Stum- liouville型方程的本征值问题 自伴算符的本征值问题 Sturm- Liouville型方程的本征值问题 Sturm- Liouville型方程本征值问题中的简并 现象 ②从SL型方程本征值问题看分离变量法 分离变量法精义 分离变量法的发展

Outline ùLJ: 1 Sturm-Liouville.§Š¯K gŠŽÎŠ¯K Sturm-Liouville.§Š¯K Sturm-Liouville.§Š¯K¥{¿ y 2 lS-L.§Š¯Kw©lCþ{ ©lCþ{°Â ©lCþ{uÐ C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

References 吴崇试,《数学物理方法》,§18.3-18.6 梁昆淼,《数学物理方法》,§9.4 胡嗣柱、倪光炯,《数学物理方法》,§10.6

Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Method of Separation of Variables . . . References ÇÂÁ§5êÆÔn{6§§18.3 — 18.6 ù&œ§5êÆÔn{6§§9.4 nÎ!X1Á§5êÆÔn{6§§10.6 C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

讲授要点 ●Stum- liouville型方程的本征值问题 自伴算符的本征值问题 Stum- Liouville型方程的本征值问题 Sturm- Liouville型方程本征值问题中的简并 现象 ③从S-L型方程本征值问题看分离变量法 分离变量法精义 分离变量法的发展

Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Method of Separation of Variables . . . Eigenproblem of Self-Adjiont Operators Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Degeneration in Eigenproblem of S-L Eqn ùLJ: 1 Sturm-Liouville.§Š¯K gŠŽÎŠ¯K Sturm-Liouville.§Š¯K Sturm-Liouville.§Š¯K¥{¿ y 2 lS-L.§Š¯Kw©lCþ{ ©lCþ{°Â ©lCþ{uÐ C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

伴算符 Definition 设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算 符,若对于该函数空间内的任意两个函数和, 恒有 (U, Lu)=(Mu, u) 即 Lud (Mu)ud.r 则称M是L的伴算符

Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Method of Separation of Variables . . . Eigenproblem of Self-Adjiont Operators Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Degeneration in Eigenproblem of S-L Eqn ŠŽÎ Definition LÚM½Â3½¼êmS(‡©)Ž ΧeéuT¼êmS?¿ü‡¼êuÚv§ ðk (v, Lu) = (Mv, u) = Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗udx K¡M´LŠŽÎ C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

举例 例13.1L、d d 以,当和都满足边界条 的伴算符是

Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Method of Separation of Variables . . . Eigenproblem of Self-Adjiont Operators Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Degeneration in Eigenproblem of S-L Eqn Þ~ ~13.1 L = d dx Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u    b a − Z b a dv ∗ dx udx ¤±§uÚvÑ÷v>.^‡ y(a) = y(b) ž§ d dx ŠŽÎ´− d dx C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

举例 例13.1L、d d 所以,当和都满足边界条件 时,一的伴算符是

Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Method of Separation of Variables . . . Eigenproblem of Self-Adjiont Operators Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Degeneration in Eigenproblem of S-L Eqn Þ~ ~13.1 L = d dx Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u    b a − Z b a dv ∗ dx udx ¤±§uÚvÑ÷v>.^‡ y(a) = y(b) ž§ d dx ŠŽÎ´− d dx C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

举例 例13.1L d 所以,当u和都满足边界条件 y(a)=y(b) d d 时,,的伴算符是

Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Method of Separation of Variables . . . Eigenproblem of Self-Adjiont Operators Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Degeneration in Eigenproblem of S-L Eqn Þ~ ~13.1 L = d dx Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u    b a − Z b a dv ∗ dx udx ¤±§uÚvÑ÷v>.^‡ y(a) = y(b) ž§ d dx ŠŽÎ´− d dx C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(

讨论 若M是L的伴算符,则对于任意函数和,也有 vud LOud. 以L也是M的伴算符

Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Method of Separation of Variables . . . Eigenproblem of Self-Adjiont Operators Eigenproblem of Sturm-Liouville Eqn Degeneration in Eigenproblem of S-L Eqn ?Ø eM´LŠŽÎ§Kéu?¿¼êuÚv§k Z b a v ∗Mudx = Z b a (Mu) ∗ vdx ∗ = Z b a u ∗Lvdx ∗ = Z b a (Lv) ∗udx ¤±L´MŠŽÎ C. S. Wu 1›nù ©lCþ{o(