新疆大学：《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）幂级数展开法（长除法）

2.幂级数展开法（长除法） 因为x()的Z变换为Z1的幂级数，即 00 Xe)=∑xme=+-2)22+-1z+ 1=-o0 x(0)z0+x①z1+x(2)z2+. 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数 就是序列x(n)。 如收敛域为z>R,X()为因果序列，则X(z)展 成Z的负幂级数。 若收敛域Z<R,x()必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数

2.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z -1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数 就是序列x(n)。 如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展 成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。   + + + = = + − + − + − −  =− −  0 1 2 2 (0) (1) (2) ( ) ( ) ( 2) ( 1) x z x z x z X z x n z x z x z n n

例已知X日)=一正4>川长除法求其逆Z变换m 解： 1+a2+a2z2+. Im[z] 1-az 1-a2-1 a Relz] a21 az1-a22-2 az2 0:e=1+c+。g-2 因此： x(n)=a'u(n）

1 1 ( ) , z ( ) 1 X z a Z x n az − =  − 例 已知 ，用长除法求其逆 变换 。 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 az a z az az az az a z a z − − − − − − − − + + + − − − 1 2 2 0 0 ( ) 1 ( ) n n n n n X z az a z a z x n z   − − − − = = 即： = + + + = =   ( ) ( ) n 因此： x n a u n = a Im[z] 0 Re[z] 1 C 解：

己归店小求其7发梨心 解： Im[z] X(=)-1-aT 1-az Re[z] n=0 =a+a22*)=∑2 因此：x(m)=-a(-n-1)

1 1 ( ) , z ( ) 1 X z a Z x n az − =  − 例 已知 ，求其逆 变换 。 a Im[z] 0 Re[z] 1 C 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 2 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 ( ) n n n n n a z X z az a z a z a z a z a z a z a z a z − − −  − − − − = − − − − =− = = − − − = − = − − = − + + =   解： ( ) ( 1) n 因此： x n a u n = − − −