复旦大学：《电动力学》学生课堂报告_多极矩的相关思考

多极矩的相关思考 高飞 08300190038 2010年11月8日

多极矩的相关思考 高飞 08300190038 2010年11月8日

多极矩中的对称破缺理解 以不对称偶极子为例: q◆ L/2 L/2 X 分别计算其对应的偶极矩和四极矩 的电势贡献

一、多极矩中的对称破缺理解 以不对称偶极子为例： 分别计算其对应的偶极矩和四极矩 的电势贡献

Q+q l COS 4兀o 2 2 可见当Q=-q时,即两点电荷完全相等,则此时为镜面 对称,偶极矩项没有电势贡献。 Q-q/43 38ne4 9U 可见当Q=q时,即两点电荷异号相等,则为球对称, 四极矩没有电势贡献

2 2 0 Q q cos 4 2 l r    + = − 2 2 2 3 5 0 Q-q 3 8 4 l z r r   − = 可见当Q= - q时，即两点电荷完全相等，则此时为镜面 对称，偶极矩项没有电势贡献。 可见当Q= q 时，即两点电荷异号相等，则为球对称， 四极矩没有电势贡献

1.在任一电荷体系中,若其中“任一”点电 荷都有其关于原点镜面对称的点电荷,则偶 极矩电势贡献为0 ·2.在任一电荷体系中,若其中“任一”点电 荷都有其关于原点球对称的点电荷,则四极 矩的电势贡献为0

小结 • 1.在任一电荷体系中，若其中“任一”点电 荷都有其关于原点镜面对称的点电荷，则偶 极矩电势贡献 为0 • 2.在任一电荷体系中，若其中“任一”点电 荷都有其关于原点球对称的点电荷，则四极 矩的电势贡献 为0 2 3

个例题的思考 如左图,一个 R 导体球放在匀 强场中,求其 在空间的电势

二、一个例题的思考 如左图，一个 导体球放在匀 强场中，求其 在空间的电势

解的电势为o=- Er cos+2 cos e 1、对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场,所以VE对于 n≥1都为0,所以四极矩以及以上极矩都 没有被感应( induce)出来,所以只有偶 极矩项 解释二、按前面关于对极矩对称破缺的理解, 可知这个感应导体球的电荷分布是球对 称的(每个点电荷都有其球对称的等量异 号点电荷),所以是没有四极矩项的

解的电势为 1、对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场，所以 对于 都为0，所以四极矩以及以上极矩都 没有被感应（induce）出来，所以只有偶 极矩项。 解释二、按前面关于对极矩对称破缺的理解， 则可知这个感应导体球的电荷分布是球对 称的（每个点电荷都有其球对称的等量异 号点电荷），所以是没有四极矩项的。 3 0 0 2 cos cos E R E r r    = − +n  E n 1

2关于“偶极子项2 cos 6 a由上面的多极矩分析 对于所有r均成立,不 可知,在此例中,只有 必需要像电偶极子那 偶极矩项有电势贡献, 样r>R的近似条件 而其他的电势贡献均为0, 的理解: 所以按照泰勒展开 9=1+2+03+…=m2 这个对于任何r都是严格 的,并没有用r>R的 条件近似

2.关于“偶极子项” 对于所有r均成立，不 必需要像电偶极子那 样 的近似条件 的理解： 3 0 2 cos E R r  r R a.由上面的多极矩分析 可知，在此例中，只有 偶极矩项有电势贡献， 而其他的电势贡献均为0， 所以按照泰勒展开 这个对于任何r都是严格 的，并没有用 的 条件近似。      = + + + = 1 2 3 2 r R

b像偶极子的解释 按照导体球上的电场线趋 势可以推测电场线汇聚于 R 球心处,因此可以将导体 球上的感应电荷等效成 个在导体球中心的电偶极 子P为使满足导体球壳上 的电势为0,有如下等式: Pcos e p-4兀Eo P 48 r Arcos e Eo Rose

b.像偶极子的解释 按照导体球上的电场线趋 势可以推测电场线汇聚于 球心处，因此可以将导体 球上的感应电荷等效成一 个在导体球中心的电偶极 子P为使满足导体球壳上 的电势为0，有如下等式： 3 2 0 0 0 0 1 cos 4 4 cos cos P r R E r R r P P r R E r E R        = = = = = − = −

由p+qg=0可得: P=4mER、Ee 这个结果与事实相符,说明这个 像电偶极子能反应这个导体球的 感应电荷,且根据图示,可知电 场线汇聚在球心处,即该像电偶 极子的线度为趋向0。因此,空 间电势的偶极矩项 E R3 对于任何空间的r,r>R都是严 格成立的

0   P E + = 3 0 0 4 P R E e =  z 由 可得： 这个结果与事实相符，说明这个 像电偶极子能反应这个导体球的 感应电荷，且根据图示，可知电 场线汇聚在球心处，即该像电偶 极子的线度为趋向0。因此，空 间电势的偶极矩项 对于任何空间的r ，r>R都是严 格成立的. 3 0 2 cos E R r 

三、对上一例题中的解释一的分析 第六张PPτ:“对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场,所以对于ⅴE 都为0,所以四极矩以及以上极矩都没 有被感应( induce)出来,所以只有 偶极矩项 思考:若外场满足VE=C则V2E=0。于是按上 面的解释,应该得出:电势只有偶极矩和四极矩 项,没有八极矩及以上的项

三、对上一例题中的解释一的分析 第六张PPT：“对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场，所以对于 都为0，所以四极矩以及以上极矩都没 有被感应（induce）出来，所以只有 偶极矩项。” 思考：若外场满足 则 。于是按上 面的解释，应该得出：电势只有偶极矩和四极矩 项，没有八极矩及以上的项。 n  E  = E C 2  = E 0