复旦大学：《电动力学》学生课堂报告_磁标势的转移矩阵方法和一点推广

磁标势的转移矩阵方法和一点推广 陈苏迪 09300190043

磁标势的转移矩阵方法和一点推广 陈苏迪 09300190043

磁标势的转移矩阵方法 0 uor∈(r1,+∞) 1r∈(r2,r1) ur∈(r2+1,7) 0 T∈(0,nn) 在以上体系加上匀强外场Ho

磁标势的转移矩阵方法 μ(𝑟) = μ0 𝑟 ∈ 𝑟1， + ∞ μ1 𝑟 ∈ 𝑟2，𝑟1 … … μ𝑖 𝑟 ∈ 𝑟𝑖+1，𝑟𝑖 … μ𝑛 𝑟 ∈ 0, 𝑟𝑛 在以上体系加上匀强外场𝐻0 n …… 2 1 0 𝐻0

磁标势的转移矩阵方法 qo(r,0)r∈(r1,+∞) p1(r T∈(7 p(r,6)= qp:(r,)r∈(r2+,r) 方程:V2q=0 qpn(r,0)r∈(0,n) r处的边界条件 无穷远处边界条件: T)≈- Hor cos d p i 0q1(7 原点处边界条件 μ L r-7 比a1 qpn(0)有限

磁标势的转移矩阵方法 φ(𝑟, θ) = φ0(r, θ) 𝑟 ∈ 𝑟1， + ∞ φ1(r, θ) 𝑟 ∈ 𝑟2，𝑟1 … … φ𝑖(r, θ) 𝑟 ∈ 𝑟𝑖+1，𝑟𝑖 … φ𝑛(r, θ) 𝑟 ∈ 0, 𝑟𝑛 𝑟𝑖处的边界条件： φ𝑖−1 𝑟𝑖 = φ𝑖 𝑟𝑖 μ𝑖−1 𝜕φ𝑖−1 𝑟 𝜕𝑟 |𝑟=𝑟𝑖 = μ𝑖 𝜕φ𝑖 𝑟 𝜕𝑟 |𝑟=𝑟𝑖 方程 ：𝛻 2φ𝑖=0 无穷远处边界条件: φ0 𝑟 ≈ −𝐻0𝑟 cos 𝜃 原点处边界条件： φ𝑛 0 有限

磁标势的转移矩阵方法 由于外场均匀,因此取试解 PPi(r,0=(Air Bi/r)cos 0 代入边界条件,得到 0 B=0 1 AB AB A-1=T-1i\B A 2pz-1 2 B μi-1

由于外场均匀，因此取试解 磁标势的转移矩阵方法 𝜑𝑖 𝑟, 𝜃 = 𝐴𝑖𝑟 + 𝐵𝑖/𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 代入 边界条件，得到 𝐴0 = −𝐻0 𝐵𝑛 = 0 𝑟𝑖 1 𝑟𝑖 2 μ𝑖−1 −2μ𝑖−1 𝑟𝑖 3 𝐴𝑖−1 𝐵𝑖−1 = 𝑟𝑖 1 𝑟𝑖 2 μ𝑖 −2μ𝑖 𝑟𝑖 3 𝐴𝑖 𝐵𝑖 𝐴𝑖−1 𝐵𝑖−1 = Ti−1,i 𝐴𝑖 𝐵𝑖

磁标势的转移矩阵方法 3R23R;3a 3R;i-1 2 1 3 3/4z3 A A A 0,111,2…1n-1,n B n 11 721Ho B=0 11

磁标势的转移矩阵方法 Ti,i−1 = 𝜇𝑖−1 3𝜇𝑖 + 2 3 2 3𝑅𝑖 3 − 2𝜇𝑖−1 3𝑅𝑖 3 𝜇𝑖 𝑅𝑖 3 3 − 𝑅𝑖 3 𝜇𝑖−1 3𝜇𝑖 2𝜇𝑖−1 3𝜇𝑖 + 1 3 𝐴0 𝐵0 = T0,1T1,2 … Tn−1,n 𝐴𝑛 𝐵𝑛 = 𝑇 𝐴𝑛 𝐵𝑛 𝐴0 = −𝐻0 𝐵𝑛 = 0 𝐴𝑛 = −𝐻0 𝑇11 𝐵0 = −𝑇21𝐻0 𝑇11

磁标势的转移矩阵方法 整理下面的问题写成Note(供学有余力的同学选作): (1)根据上课的提示,建立多重球壳结构的磁标势解法的转移矩阵方法; (2)求解下图所示的问题半径为R的磁介质球(磁导率为)外面包一层另外的磁介 质(磁导率为1),总的双层球的半径为R’,将这样一个体系放置于第三种磁介质 (磁导率为4)中,施加均匀磁场,问体系的有效偶极子大小等于多少?调整的 大小,问什么条件 下体系的有效偶极矩消失? H 公x,p8(-A1)(2+241)+R3(+)(1-12) 41 (1+2)(2+21)+2n(-1)(1-42 其余各量均为常数,要使等效偶极矩消失,须有 3R341 1={1 R3(2+21)+R3(1-2)

磁标势的转移矩阵方法

转移矩阵的推广 静磁 静电 旋转对称的球坐标 ·二维(z方向平移不变)的柱坐标 维量子力学

转移矩阵的推广 • 静磁 • 静电 • 旋转对称的球坐标 • 二维（z方向平移不变）的柱坐标 • 一维量子力学

二维柱坐标 计算一个静电场问题。考虑z方向上的无限长 介质柱置于匀强电场E中 ∈(p1,+∞) ∈1p∈(p2,p1) 210 p∈(pz+1,p2) x∈(0,pn)

二维柱坐标 计算一个静电场问题。考虑z方向上的无限长 介质柱置于匀强电场E中。 ϵ(𝜌) = ϵ0 𝜌 ∈ 𝜌1， + ∞ ϵ1 𝜌 ∈ 𝜌2，𝜌1 … … ϵ𝑖 𝜌 ∈ 𝜌𝑖+1，𝜌𝑖 … ϵ𝑛 𝑥 ∈ 0, 𝜌𝑛 n …… 2 1 0 E

二维柱坐标 电势 q0(p,0)p∈(p1,+o) q1(p0)p∈(p2,p1) qp(p,0)= PPi (p,0)=(Aip+ Bi/p)cos 0 0)p∈(p+1,p) (p,0)x∈(0,pn) p→+∞时qpo(p)≈- Eop cos0 p处的边界条件为 qp2-1(p2)=q1(p) p=0时qn()有限 p P=- Espi(p) ap p-pi

二维柱坐标 电势 𝜑𝑖 𝜌, 𝜃 = 𝐴𝑖𝜌 + 𝐵𝑖/𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝜌𝑖处的边界条件为 φ𝑖−1 𝜌𝑖 = φ𝑖 𝜌𝑖 ϵ𝑖−1 𝜕φ𝑖−1 𝜌 𝜕𝜌 |𝜌=𝜌𝑖 = ϵ𝑖 𝜕φ𝑖 𝜌 𝜕𝜌 |𝜌=𝜌𝑖 𝜌 → +∞时φ0 𝜌 ≈ −E0𝜌 cos 𝜃 𝜌 = 0时φ𝑛 𝜌 有限 φ(𝜌, θ) = φ0(𝜌, θ) 𝜌 ∈ 𝜌1， + ∞ φ1(𝜌, θ) 𝜌 ∈ 𝜌2，𝜌1 … … φ𝑖(𝜌, θ) 𝜌 ∈ 𝜌𝑖+1，𝜌𝑖 … φ𝑛(𝜌, θ) 𝑥 ∈ 0, 𝜌𝑛

二维柱坐标 代入边界条件得到 B=0.A A A +151 2 pi ei Bi i-1,i(B 1(et-1-6t)p 1 A A 故 B 0,111,2… -1nB 令TT12….Tn-1n=T 可以钢得AT11 o121 T

二维柱坐标 𝐵𝑛 = 0, 𝐴0 = −E0 代入边界条件得到： 𝐴𝑖−1 𝐵𝑖−1 = Ti−1,i 𝐴𝑖 𝐵𝑖 Ti-1,i= ϵ𝑖 2ϵ𝑖−1 + 1 2 ϵ𝑖−1−ϵ𝑖 2𝜌𝑖 2 ϵ𝑖−1 ϵ𝑖−1−ϵ𝑖 𝜌𝑖 2 2ϵ𝑖−1 ϵ𝑖 2ϵ𝑖−1 + 1 2 故 𝐴0 𝐵0 = T0,1T1,2 … Tn−1,n 𝐴𝑛 𝐵𝑛 令T0,1T1,2 … Tn−1,n = T 可以解得 𝐴𝑛 = − E0 T11 𝐵0 = − E0T21 T11