《结晶学》课程教学资源（教案讲义）第八章 晶体结构的几何理论

第八章白晶体结构的几何理论在第一章中我们已经介绍，晶体是具有格子构造的固体，其内部质点在三维空间都是呈周期性重复的规则排列的。每种晶体都有一定形式的内部结构。晶体结构及其化学组成，是决定晶体一切性质和现象的根本因素。与晶体外形上的晶面、晶棱之间一样，晶体结构内部的质点，相互间也都有一定的几何关系。不过，晶体结构是一种微观的无限图形，而晶体的几何外形则是属于宏观范畴的有限图形，两者之间存在着一个根本的差异，这就是：在晶体结构中必定有平移出现。实际上，晶体结构中质点的周期性重复排列，就是平移的一种表现：而空间格子的型式则体现了平移的组合关系。在本章中，我们首先将讨论如何来确定空间格子的型式，即空间格子的划分问题。不过，空间格子讨论的对象，只是纯粹几何意义上的一系列等同点，而在具体的晶体结构中，都是实在的质点。由此，相应地我们将引出晶胞的概念。至于质点间排列的对称关系，由于平移的出现，将导致产生新的对称要素，它们的组合构成了空间群。由空间群中的对称要素联系起来的一组相等的质点，则组成了等效点系。一个具体的晶体结构，即其中质点的具体排列形式，就可以由以上诸方面的几何特征来予以表征。晶体结构的具体形式，通常是在对晶体外部性质研究的基础上，根据晶体对X射线的衍射效应来测定的。其基本原理是，当X射线通过晶体时，由于结构中质点排列的方式和间距不同，产生的衍射线的方向就不同，质点的种类不同，所产生的衍射线的强度也不同。据此就有可能测定各个原子或离子的位置，从而也就确定了晶体的具体结构。但这一工作的过程，一般是较为繁复的，它属于X射线晶体学的范畴。从1929年使X射线通过晶体产生衍射效应的实验第一次获得成功以来，所有已知晶体结构的测定，基本上都是应用上述方法做出的。不过，由于近代科学技术的发展，现在已有可能利用高分辨率透射电子显微镜，来直接观察晶体的内部结构了。第一节十四种空间格子一、单位平行六面体的选择从第一章中我们已经知道，对应于每一个晶体结构，都可以抽象出一个相应的空间点阵，点阵中各个结点在空间分布的重复规律，便体现了具体晶体结构中质点105

105 第八章 晶体结构的几何理论 在第一章中我们已经介绍，晶体是具有格子构造的固体，其内部质点在三维空 间都是呈周期性重复的规则排列的。每种晶体都有一定形式的内部结构。晶体结构 及其化学组成，是决定晶体一切性质和现象的根本因素。 与晶体外形上的晶面、晶棱之间一样，晶体结构内部的质点，相互间也都有一 定的几何关系。不过，晶体结构是一种微观的无限图形，而晶体的几何外形则是属 于宏观范畴的有限图形，两者之间存在着一个根本的差异，这就是：在晶体结构中 必定有平移出现。实际上，晶体结构中质点的周期性重复排列，就是平移的一种表 现；而空间格子的型式则体现了平移的组合关系。在本章中，我们首先将讨论如何 来确定空间格子的型式，即空间格子的划分问题。不过，空间格子讨论的对象，只 是纯粹几何意义上的一系列等同点，而在具体的晶体结构中，都是实在的质点。由 此，相应地我们将引出晶胞的概念。至于质点间排列的对称关系，由于平移的出 现，将导致产生新的对称要素，它们的组合构成了空间群。由空间群中的对称要素 联系起来的一组相等的质点，则组成了等效点系。一个具体的晶体结构，即其中质 点的具体排列形式，就可以由以上诸方面的几何特征来予以表征。 晶体结构的具体形式，通常是在对晶体外部性质研究的基础上，根据晶体对 X 射线的衍射效应来测定的。其基本原理是，当 X 射线通过晶体时，由于结构中质点 排列的方式和间距不同，产生的衍射线的方向就不同，质点的种类不同，所产生的 衍射线的强度也不同。据此就有可能测定各个原子或离子的位置，从而也就确定了 晶体的具体结构。但这一工作的过程，一般是较为繁复的，它属于 X 射线晶体学的 范畴。从 1929 年使 X 射线通过晶体产生衍射效应的实验第一次获得成功以来，所 有已知晶体结构的测定，基本上都是应用上述方法做出的。不过，由于近代科学技 术的发展，现在已有可能利用高分辨率透射电子显微镜，来直接观察晶体的内部结 构了。 第一节 十四种空间格子 一、单位平行六面体的选择 从第一章中我们已经知道，对应于每一个晶体结构，都可以抽象出一个相应的 空间点阵，点阵中各个结点在空间分布的重复规律，便体现了具体晶体结构中质点

排列的重复规律。这种重复规律，可以由一系列不同方向的行列和面网来予以表征，并从而把整个空间点阵连接成格子状，构成空间格子。根据空间格子规律已知，由三组不共面的行列就可以决定一个空间格子。此时，整个空间格子将被划分成无数相互平行叠置的平行六面体。而上述三组相交行列便是这些平行六面体的棱。空间格子的组成要素包括：结点、行列、面网和单位平行六面体。单位平行六面体是空间格子的最小重复单位，整个晶体结构可以看成是单位平行六面体的堆砌。不难想象，对于同一个空间点阵，划分平行六面体的具体方式可以是各种各样的。就像一个平面点阵可以有无限多划分平行四边形的不同方式一样。在任何一种格子构造中，均可划分出无数不同形状和大小的平行六面体，从中选出一种能反映格子构造基本特征的作为代表，这就是单位平行六面体。选择单位平行六面体的原则（1）所选取的单位平行六面体应能反映格子构造中结点分布的固有对称性。(2）在满足(1)的前提下，棱与棱之间的直角最多。(3）在满足(1)、(2)的前提下，体积最小。图8-1（a）所示为一垂直于L4的面网上单位平行六面体一个面的选取。图中示出单位格子的六种不同选法。4、5、6三种选法中，在图形上没有L4，违反第一条原则：1、2、3三种选法中均有L4而且各棱相互垂直，符合（1)、（2)两条原则，但以1的体积最小，符合单位平行六面体选取的所有三条原则，可选作为单位平行六面体的一个面。图8-1(b)所示为一垂直L的面网上单位平行六面体一个面的选取，图中示出的7种选法也只有1所选取的图形才全部满足三个选取原则。2、5、6、7选取的图形虽然体积更小，但违反第二条选取原则，即棱与棱之间不垂直：4所选取的图形虽然满足（1)、（2)两条原则，但体积不是最小的，都不能作为单位平行六面体的一个面。对a和b另外两个面的选取亦做类似处理，即可得到其空间格子的单位平行六面体。婴ab图8-1在垂直于L4（a）和L（b）面网上单位平行六面体一个面的选取在空间格子中，按选择原则选择出来的平行六面体，即为单位平行六面体。它106

106 排列的重复规律。这种重复规律，可以由一系列不同方向的行列和面网来予以表 征，并从而把整个空间点阵连接成格子状，构成空间格子。根据空间格子规律已 知，由三组不共面的行列就可以决定一个空间格子。此时，整个空间格子将被划分 成无数相互平行叠置的平行六面体。而上述三组相交行列便是这些平行六面体的 棱。空间格子的组成要素包括：结点、行列、面网和单位平行六面体。单位平行六 面体是空间格子的最小重复单位，整个晶体结构可以看成是单位平行六面体的堆 砌。 不难想象，对于同一个空间点阵，划分平行六面体的具体方式可以是各种各样 的。就像一个平面点阵可以有无限多划分平行四边形的不同方式一样。在任何一种 格子构造中，均可划分出无数不同形状和大小的平行六面体，从中选出一种能反映 格子构造基本特征的作为代表，这就是单位平行六面体。 选择单位平行六面体的原则: ⑴ 所选取的单位平行六面体应能反映格子构造中结点分布的固有对称性。 ⑵ 在满足⑴的前提下，棱与棱之间的直角最多。 ⑶ 在满足⑴、⑵的前提下，体积最小。 图 8-1（a）所示为一垂直于 L 4 的面网上单位平行六面体一个面的选取。图中 示出单位格子的六种不同选法。4、5、6 三种选法中，在图形上没有 L 4，违反第一 条原则；1、2、3 三种选法中均有 L 4 而且各棱相互垂直，符合⑴、⑵两条原则，但 以 1 的体积最小，符合单位平行六面体选取的所有三条原则，可选作为单位平行六 面体的一个面。图 8-1(b)所示为一垂直 L 2 的面网上单位平行六面体一个面的选取， 图中示出的 7 种选法也只有 1 所选取的图形才全部满足三个选取原则。2、5、6、7 选取的图形虽然体积更小，但违反第二条选取原则，即棱与棱之间不垂直；4 所选 取的图形虽然满足⑴、⑵两条原则，但体积不是最小的，都不能作为单位平行六面 体的一个面。对 a 和 b 另外两个面的选取亦做类似处理，即可得到其空间格子的单 位平行六面体。 a b 图 8-1 在垂直于 L 4（a）和 L 2（b）面网上单位平行六面体一个面的选取 在空间格子中，按选择原则选择出来的平行六面体，即为单位平行六面体。它

的三条棱的长度以及棱之间的交角，是表征它本身形状、大小的一组参数，称为单位平行六面体参数。不同晶系的对称特点不同，单位平行六面体的形状也不同。对单位平行六面体的描述包括其形状、大小和结点的分布情况。选定了单位平行六面体，实际上也就选定了空间格子的坐标系。单位平行六面体的三根交棱便是三个坐标轴的方向。棱的交角α、β、也就是坐标轴之间的交角，棱长a、b、c是坐标系的轴单位。所以单位平行六面体参数也是表征空间格子中坐标系之性质的一组参数。实际上，从晶体外形上正确做出的晶体定向，应与晶体结构中的单位平行六面体对应一致。亦即三个结晶轴的方向应当就是单位平行六面体的三组棱的方向，晶体几何常数则应与单位平行六面体参数一致。其中轴角显然应当就是α、β、。轴率应当等于三根棱长之比，所不同的仅仅在于，单位平行六面体的三根棱长a、b、c是绝对长度，而轴率a:b:c只是相对的比值。二、各晶系单位平行六面体的形状和大小单位平行六面体的形状和大小，取决于三条棱的长度a、b、.c和棱之间的夹角α、β、，如图8-2所示。由于单位平行六面体的对称性必须符合整个空间格子的对称性，因此它必然与相应晶体图8-2单位平行六面体参数的图解结构及外形上的对称性相一致。对应于七个晶系，单位平行六面体的形状也有七种不同类型（图8-3）：DGEF图8-3单位平行六面体的七种类型：A一立方格子：B一四方格子：C一正交格子：D一单斜格子：E一三斜格子：F一六方和三方格子：G一菱面体格子107

107 的三条棱的长度以及棱之间的交角，是表征它本身形状、大小的一组参数，称为单 位平行六面体参数。不同晶系的对称特点不同，单位平行六面体的形状也不同。对 单位平行六面体的描述包括其形状、大小和结点的分布情况。 选定了单位平行六面体，实际上也就选定了空间格子的坐标系。单位平行六面 体的三根交棱便是三个坐标轴的方向。棱的交角 α、β、γ 也就是坐标轴之间的交 角，棱长 a、b、c 是坐标系的轴单位。所以单位平行六面体参数也是表征空间格子 中坐标系之性质的一组参数。实际上，从晶体外形上正确做出的晶体定向，应与晶 体结构中的单位平行六面体对应一致。亦即三个结晶轴的方向应当就是单位平行六 面体的三组棱的方向，晶体几何常数则应与单位平行六面体参数一致。其中轴角显 然应当就是 α、β、γ。轴率应当等于三根棱 长之比，所不同的仅仅在于，单位平行六面体的 三根棱长 a、b、c 是绝对长度，而轴率 a:b:c 只是相对的比值。 二、各晶系单位平行六面体的形状和大小 单位平行六面体的形状和大小，取决于三条棱 的长度 a、b、c 和棱之间的夹角 α、β、γ，如 图 8-2 所示。由于单位平行六面体的对称性必须符 合整个空间格子的对称性，因此它必然与相应晶体 结构及外形上的对称性相一致。对应于七个晶系， 图 8-2 单位平行六面体参数的图解 单位平行六面体的形状也有七种不同类型（图 8-3）： A B C D E F G 图 8-3 单位平行六面体的七种类型：A—立方格子；B—四方格子；C—正交格子；D—单斜格子； E—三斜格子；F—六方和三方格子；G—菱面体格子

1.等轴晶系，与之相对应的是立方格子，其单位平行六面体为立方体（图8-3A）。它的四条体对角线方向，就是等轴晶系所固有的4个L3的方向，立方体的三条交棱可以通过L3的作用相互重合。所以立方格子的单位平行六面体参数为a=b=c；α=β==90°2.四方晶系，与之相对应的是四方格子，单位平行六面体是一个横切面为正方形的四方柱体（图8-3B），柱面的交棱为c，它是四方晶系唯一的四次轴所在的方向，通过此四次轴的作用，必使a、b相互对称重复，但它们与c之间则无对称联系，所以其单位平行六面体参数为a=b+c；α==y=903.斜方晶系，与之相对应的为斜方格子，其单位平行六面体的形状如同一个火柴盒，三根互相垂直的交棱均不等长（图8-3C），单位平行六面体参数为ab±c：α===90°4.单斜晶系，与之相对应的是单斜格子，在单位平行六面体的三对面中，两对矩形平面之间成β角相交，且都垂直于另一对非矩形的面（图8-3D）。两对矩形平面的交棱规定为b，是单斜晶系唯一的二次轴方向，于是有a#b+c；α==90°，β>90°。5.三斜晶系，与之相对应的是三斜格子，其单位平行六面体是由三对不等边四边形构成的斜平行六面体(8-3E)，因此有abc；α邦+90%6.六方晶系，对应的是六方格子。其单位平行六面体是一个底面呈菱形的柱体，底面上交棱间的夹角为60°和120°（图8-3F）。显然，在一个这样的平行六面体中不可能有六次轴存在，但是，如果把三个这样的平行六面体拼在一起，其底面便合成一个正六边形，就符合六方晶系的对称特点了。然而，这样拼成的六方柱体不再是平行六面体。作为单位平行六面体，仍是上述底面呈菱形的柱体，其柱面的交棱规定为C，它是六方晶系中唯一的六次轴方向。其单位平行六面体参数为a=b+c，α=β=90°，=120°7.三方晶系，对应于三方晶系的格子有两种，一种是三方格子，但形式上与上述六方格子完全相同，其单位平行六面体参数特征也与六方格子完全相同。三方晶系中的另外一种格子是菱面体格子，单位平行六面体相当于立方体沿L压扁或拉长所得，每一个面都呈菱形（图8-3G）此时L3只剩一个，与三方晶系的对称特点一致。三根交棱围绕L3成对称分布，因此有a=b=c；α=β=≠90°、60°、109°28'16"。在此，若α=β==90°、60°、109°28'16"，则菱面体格子实际的对称性就要高于三方晶系，是属于立方格子的对称。此时根据单位平行六面体的选择原则，它们应当分别被改化为立方原始格子、立方面心格子和立方体心格子（图8-4）。三、单位平行六面体中的结点分布单位平行六面体中结点分布有四种情况，相对应有四种格子类型（图8-5）。1.原始格子（P）：结点分布在平行六面体的八个角项。2.底心格子：结点分布在平行六面体的八个角项和一对平面的中心，又可细分为：108

108 ⒈ 等轴晶系，与之相对应的是立方格子 ，其单位平行六面体为立方体（图 8- 3A）。它的四条体对角线方向，就是等轴晶系所固有的 4 个 L 3 的方向，立方体的三 条交棱可以通过 L 3 的作用相互重合。所以立方格子的单位平行六面体参数为 a=b=c；α=β=γ=90°。 ⒉ 四方晶系，与之相对应的是四方格子，单位平行六面体是一个横切面为正 方形的四方柱体（图 8-3B），柱面的交棱为 c，它是四方晶系唯一的四次轴所在的 方向，通过此四次轴的作用，必使 a、b 相互对称重复，但它们与 c 之间则无对称 联系，所以其单位平行六面体参数为 a=b≠c；α=β=γ=90°。 ⒊ 斜方晶系，与之相对应的为斜方格子，其单位平行六面体的形状如同一个 火 柴 盒 ， 三 根 互 相 垂 直 的 交 棱 均 不 等 长 （ 图 8-3C）， 单 位 平 行 六 面 体 参 数 为 a≠b≠c；α=β=γ=90°。 ⒋ 单斜晶系，与之相对应的是单斜格子，在单位平行六面体的三对面中，两 对矩形平面之间成 β 角相交，且都垂直于另一对非矩形的面（图 8-3D）。两对矩形 平面的交棱规定为 b，是单斜晶系唯一的二次轴方向，于是有 a≠b≠c；α=γ=90°，β ＞90°。 ⒌ 三斜晶系，与之相对应的是三斜格子，其单位平行六面体是由三对不等边 四边形构成的斜平行六面体(8-3E)，因此有 a≠b≠c；α≠β≠γ≠90°。 ⒍ 六方晶系，对应的是六方格子。其单位平行六面体是一个底面呈菱形的柱 体，底面上交棱间的夹角为 60°和 120°（图 8-3F）。显然，在一个这样的平行六面 体中不可能有六次轴存在，但是，如果把三个这样的平行六面体拼在一起，其底面 便合成一个正六边形，就符合六方晶系的对称特点了。然而，这样拼成的六方柱体 不再是平行六面体。作为单位平行六面体，仍是上述底面呈菱形的柱体，其柱面的 交棱规定为 c，它是六方晶系中唯一的六次轴方向。其单位平行六面体参数为 a=b≠c，α=β=90°，γ=120°。 ⒎ 三方晶系，对应于三方晶系的格子有两种，一种是三方格子，但形式上与 上述六方格子完全相同，其单位平行六面体参数特征也与六方格子完全相同。三方 晶系中的另外一种格子是菱面体格子，单位平行六面体相当于立方体沿 L 3 压扁或拉 长所得，每一个面都呈菱形（图 8-3G）此时 L 3 只剩一个，与三方晶系的对称特点 一 致 。 三 根 交 棱 围 绕 L 3 成 对 称 分 布 ， 因 此 有 a=b=c ； α=β=γ≠90°、 60°、 109°28′16″。 在此，若 α=β=γ=90°、60°、109°28′16″，则菱面体格子实际的对称性就要高于 三方晶系，是属于立方格子的对称。此时根据单位平行六面体的选择原则，它们应 当分别被改化为立方原始格子、立方面心格子和立方体心格子（图 8-4）。 三、单位平行六面体中的结点分布 单位平行六面体中结点分布有四种情况，相对应有四种格子类型（图 8-5）。 ⒈原始格子（P）：结点分布在平行六面体的八个角顶。 ⒉底心格子：结点分布在平行六面体的八个角顶和一对平面的中心，又可细分 为：

C心格子（C)：结点分布在单位平行六面体的八个角项和平行（001）的一对平面的中心。A心格子（A）：结点分布在单位平行六面体的八个角顶和平行（100）的一对平面的中心。B心格子（B）：结点分布在单位平行六面体的八个角顶和平行（010）的一对面的中心。一般情况下，底心格子即C心格子。对A或B心格子，可以转换为C心格子时，应尽可能予以转换。仅在特殊情况下可直接使用A心或B心格子而无需转换。3.体心格子（I)：结点分布在平行六面体的八个角顶和体心。4.面心格子（F）：结点分布在单位平行六面体的八个角顶和每一个面的中心。b图8-4菱面体格子中α=90°，60°，109°28'16"时分别划分成a-立方原始格子，b-立方面心格子，c-和立方体心格子T山区区fdaD图8-5四种格子类型a-原始格子：b、c、d.-底心格子（b-C心格子：c-A心格子，d-B心格子）：e-体心格子：f-面心格子四、十四种布拉维空间格子综合考虑平行六面体的形状和结点分布，空间格子共有14种。它最初是由布拉维推导出来的，故又称十四种布拉维空间格子（表8-1）。既然平行六面体有七种形状和四种结点分布方式，那么，空间格子为什么不是28种而是14种呢？这是因为某些格子类型是重复的；还有些格子类型与所在晶系的对称不符，因而不能出现在该晶系中。109

109 C 心格子（C）：结点分布在单位平行六面体的八个角顶和平行（001）的一对 平面的中心。 A 心格子（A）：结点分布在单位平行六面体的八个角顶和平行（100）的一对 平面的中心。 B 心格子（B）：结点分布在单位平行六面体的八个角顶和平行（010）的一对 面的中心。 一般情况下，底心格子即 C 心格子。对 A 或 B 心格子，可以转换为 C 心格子 时，应尽可能予以转换。仅在特殊情况下可直接使用 A 心或 B 心格子而无需转换。 ⒊ 体心格子（I）：结点分布在平行六面体的八个角顶和体心。 ⒋ 面心格子（F）：结点分布在单位平行六面体的八个角顶和每一个面的中 心。 a b c 图 8-4 菱面体格子中 α=90°，60°，109°28′16″时分别划分成 a-立方原始格子, b-立方面心格子, c-和立方体心格子 a b c d e f 图 8-5 四种格子类型 a-原始格子；b、c、d.-底心格子（b-C 心格子；c-A 心格子，d-B 心格子）；e-体心格子；f-面心格子 四、十四种布拉维空间格子 综合考虑平行六面体的形状和结点分布，空间格子共有 14 种。它最初是由布 拉维推导出来的，故又称十四种布拉维空间格子（表 8-1）。 既然平行六面体有七种形状和四种结点分布方式，那么，空间格子为什么不是 28 种而是 14 种呢？这是因为某些格子类型是重复的；还有些格子类型与所在晶系 的对称不符，因而不能出现在该晶系中

表8-1十四种布拉维格子原始格子（P）底心格子（C)体心格子（I)面心格子（F）C=PI=PF=P三斜晶系单斜晶系I=CF=C斜方晶系四方晶系C=PF=I三方晶系与本晶系对称不符I=FF=R与空间格子的条件与空间格子的条件六方晶系不符合六方对称不符不符等轴晶系与本晶系对称不符110

110 表 8-1 十四种布拉维格子 原始格子（P） 底心格子（C） 体心格子（I） 面心格子（F） 三斜晶系 C=P I=P F=P 单斜晶系 I=C F=C 斜方晶系 四方晶系 C=P F=I 三方晶系 与本晶系对称不符 I=F F=R 六方晶系 不符合六方对称 与空间格子的条件 不符 与空间格子的条件 不符 等轴晶系 与本晶系对称不符

例如：三斜面心格子可以重新划分为三斜原始格子（图8-6）：单斜底心格子可以转变为单斜原始格子（图8-7）；四方底心格子可以转变为四方原始格子等（图8-8）。在等轴晶系中，不存在立方底心格子，因为与本晶系对称不符。BA图8-6三斜面心格子（虚线）转变图8-7单斜B心格子转变为单斜原始格子为三斜原始格子（实线）的图解的图示，A-体视图B-（010）面投影图图8-8四方底心格子（虚线）转变为图8-9空间格子中结点，行列符号的表示方法四方原始格子（实线）的图解图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点第二节空间格子中点的坐标、行列及面网符号空间格子中，可以通过一定的方法，以一定的符号把空间格子中的结点、行列和面网表示出来，这就需要在空间格子中建立坐标系统。空间格子中的坐标很容易建立：通常把坐标原点置于单位平行六面体左侧后下方角顶，以交于原点的三条棱111

111 例如：三斜面心格子可以重新划分为三斜原始格子（图 8-6）；单斜底心格子可 以转变为单斜原始格子（图 8-7）；四方底心格子可以转变为四方原始格子等（图 8- 8）。在等轴晶系中，不存在立方底心格子，因为与本晶系对称不符。 A B 图 8-6 三斜面心格子（虚线）转变 图 8-7 单斜 B 心格子转变为单斜原始格子 为三斜原始格子（实线）的图解 的图示，A-体视图 B-（010）面投影图 图 8-8 四方底心格子（虚线）转变为 图 8-9 空间格子中结点，行列符号的表示方法 四方原始格子（实线）的图解 图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点 第二节 空间格子中点的坐标、行列及面网符号 空间格子中，可以通过一定的方法，以一定的符号把空间格子中的结点、行列 和面网表示出来，这就需要在空间格子中建立坐标系统。空间格子中的坐标很容易 建立：通常把坐标原点置于单位平行六面体左侧后下方角顶，以交于原点的三条棱

为X、Y、Z轴，以三根轴所在的行列上的结点间距a、b、c为坐标轴的度量单位(图8-9)。一、空间格子中点的坐标用u，V，W表示空间格子中任意一点在X、Y、Z轴上的坐标。当在单位平行六面体内确定某个点的坐标时，一般采用分数坐标，此时，将一个轴单位的长度定为1。如在体心格子中，体心结点的坐标是1/2，1/2，1/2；前右上方的结点坐标为1，1，1。如图8-9所示。二、行列符号行列符号在表示方法及形式上与晶棱符号完全相同。如果行列经过坐标原点，则把该行列上距离原点最近的结点坐标u，v，w放在［"内，[uw]即为行列符号。行列符号表示一组互相平行的行列，如图8-9，平行X轴的行列符号为[100]。三、面网符号面网符号与晶面符号基本相同。用（hkl）表示面网与各晶轴的关系。不同的是晶面符号表示的是晶体外形上某一晶面的方位，面网符号代表一组互相平行且面网间距相等的一组面网。在一组互相平行的面网中，相邻的面网间距用dhkl表示。例如某组面网的面网间距为do10，则do2o表示面网间距为do1o的1/2的一组面网；do3o的表示面网间距为do10的1/3的一组面网，如图8-10。d orodm20(030)(020)(010)图8-10平行于（010）晶面的几组面网的符号第三节晶胞从第一章中已经知道，空间格子可由具体的晶体结构导出。空间格子是由不具任何物理、化学特性的几何点构成的，而晶体结构则由实在的具体质点组成。但晶体结构中质点在空间排列的重复规律，则与相应空间格子中结点在空间分布重复规律完全一致。所以，这两者间既是相互区别，又是相互统一的，如果在晶体结构中引入相应于单位平行六面体的划分单位时，这样的划分单位称为单位晶胞，一般就简称为晶胞。112

112 为 X、Y、Z 轴，以三根轴所在的行列上的结点间距 a、b、c 为坐标轴的度量单位 （图 8-9）。 一、空间格子中点的坐标 用 u，v，w 表示空间格子中任意一点在 X、Y、Z 轴上的坐标。当在单位平行 六面体内确定某个点的坐标时，一般采用分数坐标，此时，将一个轴单位的长度定 为 1。如在体心格子中，体心结点的坐标是 1/2，1/2，1/2；前右上方的结点坐标为 1，1，1。如图 8-9 所示。 二、行列符号 行列符号在表示方法及形式上与晶棱符号完全相同。如果行列经过坐标原点， 则把该行列上距离原点最近的结点坐标 u，v，w 放在“[ ]”内，[u v w]即为行列符 号。行列符号表示一组互相平行的行列，如图 8-9，平行 X 轴的行列符号为[100]。 三、面网符号 面网符号与晶面符号基本相同。用（hkl）表示面网与各晶轴的关系。不同的是 晶面符号表示的是晶体外形上某一晶面的方位，面网符号代表一组互相平行且面网 间距相等的一组面网。 在一组互相平行的面网中，相邻的面网间距用 dhkl 表示。例如某组面网的面网 间距为 d010，则 d020 表示面网间距为 d010 的 1/2 的一组面网；d030 的表示面网间距为 d010 的 1/3 的一组面网，如图 8-10。 图 8-10 平行于（010）晶面的几组面网的符号 第三节 晶胞 从第一章中已经知道，空间格子可由具体的晶体结构导出。空间格子是由不具 任何物理、化学特性的几何点构成的，而晶体结构则由实在的具体质点组成。但晶 体结构中质点在空间排列的重复规律，则与相应空间格子中结点在空间分布重复规 律完全一致。所以，这两者间既是相互区别，又是相互统一的，如果在晶体结构中 引入相应于单位平行六面体的划分单位时，这样的划分单位称为单位晶胞，一般就 简称为晶胞

所以单位晶胞是指：能够充分反映整个晶体结构特征的最小构造单位。晶胞的形状大小由一组晶胞参数来表征。其数据与对应的单位平行六面体参数完全一致。图8-11A是从石盐晶体结构中抽象出来的空间格子的一小部分，即一个单位平7BC图8-11石盐晶体结构的立方面心格子（A）和晶胞（B、C）行六面体。它表现为立方面心格子，其棱长等于0.5628nm；图8-11B是从石盐晶体结构中，按照上述立方面心格子的范围划分出来的一个单位晶胞，其棱长（相当于相邻角顶上两个CI离子中心的间距，虽然同样也等于0.5628nm，但晶胞的内部包含有实在的内容，它由4个Na和4个CI各自均按立方面心格子的形式分布而组成。显然，晶胞应是晶体结构的基本组成单位，由一个晶胞出发，就能借助于平移群而重复出整个晶体结构。因此，以后在描述某个矿物的晶体结构时，通常只需阐明它的晶胞特征就可以了。不过，为了便于透视位于后面的质点起见，在绘制晶胞图时，通常都把质点半径缩小。使得实际上相互接触的质点彼此分开，如图8-10C那样。第四节晶体内部结构的对称要素晶体结构中可能出现的对称要素包括两部分：一是在晶体外形上也能出现的宏观对称要素，即对称轴、对称面、旋转反伸轴等：二是仅在格子构造中出现的微观对称要素。后者的特点是在它们的对称变换中都包含了平移操作，而平移操作在有限的图形中不能实现，故微观对称要素不能在晶体外形上出现。晶体结构中任一对称要素，均有无穷多与之平行的对称要素存在。一、平移轴为晶体结构中一直线方向，沿此直线平移一定的距离以后，结构中的每一个质点都与相同的质点重合，整个结构亦自相重合。图8-12所示为氯化钠晶体结构中平行（001）的一层面网，当沿X轴方向平行移动一个结点间距时，所有质点均与相同质点重合，故X轴方向就是一平移轴：同113

113 所以单位晶胞是指：能够充分反映整个晶体结构特征的最小构造单位。晶胞的 形状大小由一组晶胞参数来表征。其数据与对应的单位平行六面体参数完全一致。 图 8-11A 是从石盐晶体结构中抽象出来的空间格子的一小部分，即一个单位平 A B C 图 8-11 石盐晶体结构的立方面心格子（A）和晶胞（B、C） 行六面体。它表现为立方面心格子，其棱长等于 0.5628nm；图 8-11B 是从石盐晶体 结构中，按照上述立方面心格子的范围划分出来的一个单位晶胞，其棱长 (相当于 相邻角顶上两个 Cl-离子中心的间距，虽然同样也等于 0.5628nm，但晶胞的内部包 含有实在的内容，它由 4 个 Na+和 4 个 Cl-各自均按立方面心格子的形式分布而组 成。 显然，晶胞应是晶体结构的基本组成单位，由一个晶胞出发，就能借助于平移 群而重复出整个晶体结构。因此，以后在描述某个矿物的晶体结构时，通常只需阐 明它的晶胞特征就可以了。不过，为了便于透视位于后面的质点起见，在绘制晶胞 图时，通常都把质点半径缩小。使得实际上相互接触的质点彼此分开，如图 8-l0C 那样。 第四节 晶体内部结构的对称要素 晶体结构中可能出现的对称要素包括两部分：一是在晶体外形上也能出现的宏 观对称要素，即对称轴、对称面、旋转反伸轴等；二是仅在格子构造中出现的微观 对称要素。后者的特点是在它们的对称变换中都包含了平移操作，而平移操作在有 限的图形中不能实现，故微观对称要素不能在晶体外形上出现。晶体结构中任一对 称要素，均有无穷多与之平行的对称要素存在。 一、平移轴 为晶体结构中一直线方向，沿此直线平移一定的距离以后，结构中的每一个质 点都与相同的质点重合，整个结构亦自相重合。 图 8-12 所示为氯化钠晶体结构中平行（001）的一层面网，当沿 X 轴方向平行 移动一个结点间距时，所有质点均与相同质点重合，故 X 轴方向就是一平移轴；同

样，沿Y方向，X+Y方向或其它任意行列方向，每平行移动一个或数个结点间距，均可使每一个质点与相同质点重合。可见在晶体结构的空间格子中，任一行列的方向都是一个平移轴。平移轴移距为行列上结点间距或其整数倍。由于空间格子中有无限多个不同方向的行列，因此也就有无限多种平移轴。所I以一般不用平移轴描述晶体的微观对称。为了使平移轴有一个明确的概念，通常采用三个代表性平移轴组合来表征，这种组合称平移群。它是平移轴在三维空间的组合，基本图形就是单位平行六面-1体。用14种布拉维空间格子来代表微-1b观对称的平移群，即把14种布拉维空间格子作为微观对称要素来对待。二、螺旋轴图8-12氯化钠晶格中的平移对称轴1.螺旋轴的概念螺旋轴是晶体结构中一假想直线，绕此直线旋转一定角度并沿此直线平移一定距离之后，结构中的每一个质点皆与相同的质点重合，整个结构亦自相重合。螺旋轴的国际符号一般写成ns。n为轴次，s为小于n的自然数，n=l，2，3，4，6：对应的基转角为360°180°、12090°、60°。螺旋轴的移距：t=（s/n）T。T为平行螺旋轴的行列上的结点间距。例如2，为二次螺旋轴，基转角为180°，移距为螺旋轴所在行列结点间距的1/2。2.螺旋轴的类型按轴次和平移距离不同，螺旋轴共有11种，即21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65。在以上11种螺旋轴的操作中，轴次为n，平移距离为(s/n)T，这个平移距离是以右旋为标准给出的。右旋是指，把右手的大拇指伸直，其余四指并拢弯曲，则四指方向为旋转方向，大拇指为平移方向，如图8-13A所示。如果以左旋为标准，即旋转和平移按左手四指和拇指方向进行，如图8-13B，那么，对于螺旋轴n，当一个质点绕其转动α后，平移距离应变为(n-s)/nT。例如，螺旋轴32，如以右旋为标准转120°之后，沿轴平移距离为2/3T：质点与相同质点重合；如果左旋120，沿轴平移(n-s)/nT=1/3T，质点与相同质点重合（如图8-14)。因此，一般规定：0<s<n/2时为右旋螺旋轴，包括31416162;n/2<s<n时为左旋螺旋轴，包括3243646s;S=n/2时为中性螺旋轴，包括214263。当移距为零时，螺旋轴就蜕变为简单的对称轴，所以对称轴可以看成是移距为零的螺旋轴。螺旋轴亦遵循晶体的对称定律，即晶体中不可能出现5次和高于六次的螺旋轴。现将晶体结构中所能出现的各种螺旋轴叙述如下（其图示符号见表8-2):114

114 样，沿 Y 方向，X+Y 方向或其它任意行列方向，每平行移动一个或数个结点间 距，均可使每一个质点与相同质点重合。可见在晶体结构的空间格子中，任一行列 的方向都是一个平移轴。平移轴移距为行列上结点间距或其整数倍。 由于空间格子中有无限多个不同方向的行列，因此也就有无限多种平移轴。所 以一般不用平移轴描述晶体的微观对称。 为了使平移轴有一个明确的概念，通常 采用三个代表性平移轴组合来表征，这 种组合称平移群。它是平移轴在三维空 间的组合，基本图形就是单位平行六面 体。用 14 种布拉维空间格子来代表微 观对称的平移群，即把 14 种布拉维空 间格子作为微观对称要素来对待。 二、螺旋轴 ⒈ 螺旋轴的概念 图 8-12 氯化钠晶格中的平移对称轴 螺旋轴是晶体结构中一假想直线，绕此直线旋转一定角度并沿此直线平移一定 距离之后，结构中的每一个质点皆与相同的质点重合，整个结构亦自相重合。 螺旋轴的国际符号一般写成 ns。n 为轴次，s 为小于 n 的自然数，n=1，2，3， 4，6；对应的基转角为 360°、180°、120°、90°、60° 。 螺旋轴的移距：t=（s/n）T。T 为平行螺旋轴的行列上的结点间距。例如 21 为 二次螺旋轴，基转角为 180°，移距为螺旋轴所在行列结点间距的 1/2。 ⒉ 螺旋轴的类型 按轴次和平移距离不同，螺旋轴共有 11 种，即 21、31、32、41、42、43、61、 62、63、64、65。在以上 11 种螺旋轴的操作中，轴次为 n，平移距离为(s/n)T，这个 平移距离是以右旋为标准给出的。右旋是指，把右手的大拇指伸直,其余四指并拢弯 曲，则四指方向为旋转方向，大拇指为平移方向，如图 8-13A 所示。 如果以左旋为标准，即旋转和平移按左手四指和拇指方向进行，如图 8-13B， 那么，对于螺旋轴 ns，当一个质点绕其转动 α 后，平移距离应变为(n-s)/nT。例如， 螺旋轴 32，如以右旋为标准转 120o 之后，沿轴平移距离为 2/3T；质点与相同质点 重合；如果左旋 120o，沿轴平移(n-s)/nT=1/3T，质点与相同质点重合（如图 8- 14）。 因此，一般规定： 0< s< n/2 时为右旋螺旋轴，包括 31 41 61 62； n/2<s<n 时为左旋螺旋轴，包括 32 43 64 65； s= n/2 时为中性螺旋轴，包括 21 42 63。 当移距为零时，螺旋轴就蜕变为简单的对称轴，所以对称轴可以看成是移距为 零的螺旋轴。螺旋轴亦遵循晶体的对称定律，即晶体中不可能出现 5 次和高于六次 的螺旋轴。 现将晶体结构中所能出现的各种螺旋轴叙述如下（其图示符号见表 8- 2）：