《结晶学》课程教学资源（教案讲义）第四章 晶体的宏观对称

第四章晶体的宏观对称在第二章中已经介绍，晶体的生长过程，实质上就是质点按照空间格子规律有规则地进行堆积的过程；所以，只要生长时有足够的自由空间，晶体就必然会长成一定形状的几何多面体。例如石盐常成立方体，而α-石英经常长成带有尖顶的六方柱体，等等。在具有几何多面体外形的晶体一一结晶多面体上，最突出的一个性质就是它的对称性。晶体外形上的对称性是由其内部格子构造的对称性所决定的。所以，一切晶体都是对称的。不过，不同晶体之间的对称性往往又是有差别的，这表现在它们的对称要素可以有所不同，并且因此构成不同的对称型。所以，有必要同时也有可能，根据晶体的对称特点来对晶体进行分类，即划分出不同的晶族和晶系。由于晶体的对称性从本质上来讲取决于其内部的格子构造，因此，晶体的对称性不仅包含几何意义上的对称，而且也包含物理意义上的对称，亦即晶体中凡是具有方向性的物理性质，例如折射率、电导率、弹性模量、硬度等等，它们也都呈现相应的对称关系。这是因为，晶体的各项物理性质都是取决于其组成质点的种类和它们的排列方式的。所以，晶体的对称性决定并影响着晶体中涉及到几何及物理两方面的一切性质。反过来，根据晶体的几何外形以及它们的一系列物理性质，又可以用来正确地确定晶体的对称性。所以晶体的对称性对于我们认识晶质矿物的一系列特性都具有重要的意义。另一方面，晶体的对称性对于晶体的利用还具有指导意义。在本章中我们将依次阐述以上的有关内容，但限于讨论晶体外形上的对称，即晶体的宏观对称。第一节对称的概念和晶体对称的特点一、对称的概念图形相同部分有规律的重复，称为对称。具有对称特征的图形，称为对称图形。对称是自然科学中最普遍的一种基本概念。自然界许多东西都具有对称特点，如植物枝叶的对生与互生，花瓣、动物形体及器官的对称生长、晶体界限要素的对称分布等；建筑物、交通工具、生活用品等，常具有对称的外形：在装饰、装潢设计、纺织品中也常可见到对称图案。所有对称物体和对称图案统称为对称图形。39

39 第四章 晶体的宏观对称 在第二章中已经介绍，晶体的生长过程，实质上就是质点按照空间格子规律有 规则地进行堆积的过程；所以，只要生长时有足够的自由空间，晶体就必然会长成 一定形状的几何多面体。例如石盐常成立方体，而 α-石英经常长成带有尖顶的六方 柱体，等等。 在具有几何多面体外形的晶体——结晶多面体上，最突出的一个性质就是它的 对称性。晶体外形上的对称性是由其内部格子构造的对称性所决定的。所以，一切 晶体都是对称的。不过，不同晶体之间的对称性往往又是有差别的，这表现在它们 的对称要素可以有所不同，并且因此构成不同的对称型。所以，有必要同时也有可 能，根据晶体的对称特点来对晶体进行分类，即划分出不同的晶族和晶系。 由于晶体的对称性从本质上来讲取决于其内部的格子构造，因此，晶体的对称 性不仅包含几何意义上的对称，而且也包含物理意义上的对称，亦即晶体中凡是具 有方向性的物理性质，例如折射率、电导率、弹性模量、硬度等等，它们也都呈现 相应的对称关系。这是因为，晶体的各项物理性质都是取决于其组成质点的种类和 它们的排列方式的。所以，晶体的对称性决定并影响着晶体中涉及到几何及物理两 方面的一切性质。反过来，根据晶体的几何外形以及它们的一系列物理性质，又可 以用来正确地确定晶体的对称性。所以晶体的对称性对于我们认识晶质矿物的一系 列特性都具有重要的意义。另一方面，晶体的对称性对于晶体的利用还具有指导意 义。 在本章中我们将依次阐述以上的有关内容，但限于讨论晶体外形上的对称，即 晶体的宏观对称。 第一节 对称的概念和晶体对称的特点 一、对称的概念 图形相同部分有规律的重复，称为对称。具有对称特征的图形，称为对称图形。 对称是自然科学中最普遍的一种基本概念。自然界许多东西都具有对称特点， 如植物枝叶的对生与互生，花瓣、动物形体及器官的对称生长、晶体界限要素的对 称分布等；建筑物、交通工具、生活用品等，常具有对称的外形；在装饰、装潢设 计、纺织品中也常可见到对称图案。所有对称物体和对称图案统称为对称图形

对称的条件有两个，第一，对称图形必须具有两个或两个以上的相同部分。第二，这些相同部分能够通过一定的对称操作发生重复。例如糊蝶媒，它由两个相同部份组成，并且相对于身体正中的平面对称分布，两部分可以借助该平面的反映发生重复：再如花朵，是由六个相同的花瓣组成，它们围绕一根与花茎重合的直线对称分布，彼此可以借助于绕此直线的旋转发生重复。晶体具有对称性，晶体的对称在宏观上表现为相同晶面、晶棱有规律的重复。二。晶体对称的特点1.所有的晶体都是对称的。因为晶体具有格子构造，而格子构造就是相同部分有规律的重复。所以从这个意义上讲，所有的晶体都是对称的。2.晶体的对称是有限的。晶体的对称受格子构造规律的控制，即遵守对称定律。只有符合格子构造规律的对称才会在实际晶体中出现。3.晶体的对称不仅表现在外形上，内部结构和物理性质也是对称的。第二节晶体的宏观对称要素一、对称操作和对称要素的概念为使图形中相同部分发生重复所进行的操作称对称操作。例如，要使蝴蝶的两个相同部分发生重复，要借助于一个平面的反映：要使花瓣发生重复，必须使花朵绕一根直线旋转。这种旋转、反映就是对称操作。我们还可以看到，在进行任何一种对称操作时，都必须以一定的几何要素为准绳。蝴蝶左右两部分之间的反映重复是相对位于形体正中的一个平面进行的：花瓣的旋转重复则是围绕看与花柄重合的直线进行的。这样一些在进行对称操作时所凭借的几何要素一平面、直线、点等，称为对称要素。一定的对称要素均有一定的对称操作与之相对应。对称要素能够明确地表征出物体的对称特点。必须注意有的对称操作可以用相应的实际动作来具体进行。例如旋转，就可以使物体绕某一直线为轴具体进行转动：但有的对称操作，例如反映，以及还有所谓的倒反，却是无法用某种实际的动作来具体进行的，而只能设想按相应的对称操作关系来变换物体中每一个点的位置。二、晶体的宏观对称要素晶体外形上可能出现的对称要素，即晶体的宏观对称要素，包括以下几种：1.对称面（P）对称面是通过晶体中心的一个假想平面，它将图形分为互成镜像反映的两个相等部分。相应的对称操作是对此平面的反映。如图4-1，a图的P和P2是对称面：b图的AD不是对称面，尽管AD将图形分为两个相等部分，但这两部分不互成镜像，△AAED成镜像反映的是△AE,D。晶体中对称面可能出现的位置有（图4-2a）：（1）垂直并平分晶面：40

40 对称的条件有两个，第一，对称图形必须具有两个或两个以上的相同部分。第 二，这些相同部分能够通过一定的对称操作发生重复。例如蝴蝶，它由两个相同部 份组成，并且相对于身体正中的平面对称分布，两部分可以借助该平面的反映发生 重复；再如花朵，是由六个相同的花瓣组成，它们围绕一根与花茎重合的直线对称 分布，彼此可以借助于绕此直线的旋转发生重复。晶体具有对称性，晶体的对称在 宏观上表现为相同晶面、晶棱有规律的重复。 二．晶体对称的特点 ⒈所有的晶体都是对称的。因为晶体具有格子构造，而格子构造就是相同部分 有规律的重复。所以从这个意义上讲，所有的晶体都是对称的。 ⒉晶体的对称是有限的。晶体的对称受格子构造规律的控制，即遵守对称定律。 只有符合格子构造规律的对称才会在实际晶体中出现。 ⒊晶体的对称不仅表现在外形上，内部结构和物理性质也是对称的。 第二节 晶体的宏观对称要素 一、对称操作和对称要素的概念 为使图形中相同部分发生重复所进行的操作称对称操作。例如，要使蝴蝶的两 个相同部分发生重复，要借助于一个平面的反映；要使花瓣发生重复，必须使花朵 绕一根直线旋转。这种旋转、反映就是对称操作。 我们还可以看到，在进行任何一种对称操作时，都必须以一定的几何要素为准 绳。蝴蝶左右两部分之间的反映重复是相对位于形体正中的一个平面进行的；花瓣 的旋转重复则是围绕着与花柄重合的直线进行的。这样一些在进行对称操作时所凭 借的几何要素—平面、直线、点等，称为对称要素。一定的对称要素均有一定的对 称操作与之相对应。对称要素能够明确地表征出物体的对称特点。 必须注意有的对称操作可以用相应的实际动作来具体进行。例如旋转，就可以 使物体绕某一直线为轴具体进行转动；但有的对称操作，例如反映，以及还有所谓 的倒反，却是无法用某种实际的动作来具体进行的，而只能设想按相应的对称操作 关系来变换物体中每一个点的位置。 二、晶体的宏观对称要素 晶体外形上可能出现的对称要素，即晶体的宏观对称要素，包括以下几种： ⒈ 对称面（P） 对称面是通过晶体中心的一个假想平面，它将图形分为互成镜像反映的两个相 等部分。相应的对称操作是对此平面的反映。 如图 4-1，a 图的 P1 和 P2 是对称面；b 图的 AD 不是对称面，尽管 AD 将图形分 为两个相等部分，但这两部分不互成镜像，AED 成镜像反映的是AE1D。 晶体中对称面可能出现的位置有（图 4-2a）： ⑴ 垂直并平分晶面；

（2）垂直晶棱并通过它的中点：(3）包含晶棱。对称面用P表示。晶体中可以没有对称面，也可以有一个或多个，但最多不超过9个。描述时将对称面数目写在P前面。立方体中有9个对称面（其中直立的四个，倾斜的四个，水平的一个，倾斜对称面与直立和水平对称面皆以45°相交），就写成9P。对称面是通过晶体中心的平面，其球面投影为一大圆。在极射赤平投影中，水平对称面的投影为基圆：直立对称面的投影为基圆直径：倾斜对称面的投影为以基圆直径为弦的大圆弧（图4-2b）。BABPIEDbaP2图4-1P和P2为对称面（a)：图4-2立方体的九个对称面9P（a）AD非对称面（b)及极射赤平投影（b）2.对称轴(L")对称轴是通过晶体中心的一根假想直线，当图形绕此直线旋转一定角度以后，可使相同部分重复。相应的对称操作是绕此直线的旋转。先看一下立方体的对称轴，立方体围绕通过相对两个晶面中心的直线旋转90°、180°、270°、360°可使相同部分重复（图4-3）：绕相对两个的角顶旋转120°、240°360°可使相同部分重复：绕通过相对两个晶棱中点的连线旋转180°、360°也能使相同部分重复。b图4-3立方体的3L44L?6L29PC及其赤平投影41

41 ⑵ 垂直晶棱并通过它的中点； ⑶ 包含晶棱。 对称面用 P 表示。晶体中可以没有对称面，也可以有一个或多个，但最多不超 过 9 个。描述时将对称面数目写在 P 前面。立方体中有 9 个对称面（其中直立的四 个，倾斜的四个，水平的一个，倾斜对称面与直立和水平对称面皆以 45°相交），就 写成 9P。 对称面是通过晶体中心的平面，其球面投影为一大圆。在极射赤平投影中，水 平对称面的投影为基圆；直立对称面的投影为基圆直径；倾斜对称面的投影为以基 圆直径为弦的大圆弧(图 4-2b)。 a b 图 4-1 P1 和 P2 为对称面（a）； 图 4-2 立方体的九个对称面 9P（a） AD 非对称面（b） 及极射赤平投影（b） ⒉ 对称轴(Ln ) 对称轴是通过晶体中心的一根假想直线，当图形绕此直线旋转一定角度以后， 可使相同部分重复。相应的对称操作是绕此直线的旋转。 先看一下立方体的对称轴，立方体围绕通过相对两个晶面中心的直线旋转 90°、 180°、270°、360°可使相同部分重复（图 4-3）；绕相对两个的角顶旋转 120°、240°、 360°可使相同部分重复；绕通过相对两个晶棱中点的连线旋转 180°、360°也能使相 同部分重复。 a b 图 4-3 立方体的 3L4 4L3 6L2 9PC 及其赤平投影

这说明在同一晶体上会有不同的对称轴，为了对对称轴进行分类，现引入轴次和基转角的概念：图形旋转一周相同部分重复的次数称轴次（n），重复时所旋转的最小角度称基转角（α），轴次与基转角的关系为：n=360°α。对称轴用L"表示，n为轴次。晶体外形上可能出现的对称轴及相应基转角见表4-1。表4-1晶体外形上可能出现的对称轴及相应基转角符号名称基转角作图符号Li360°一次对称轴L2180°+二次对称轴L120°A三次对称轴L90°.四次对称轴L660°C六次对称轴由于任何物体绕任一轴线旋转360°均复原，因此，L'是随处皆在的，这样，次对称轴也就失去了实际意义。所以，除了特定的场合以外，在以后的讨论中对L都不再涉及。轴次高于2的对称轴L3、L4、L‘为高次轴。L2、L3、L4、L°的横截面形状及作图符号如图4-4所示。L2L3L6L4图4-4晶体中的对称轴L、L、L*和L举例对称定律：晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴。因为它们不符合空间格子规律。在空间点阵中如果出现n次对称轴，则在垂直L"的平面点阵中便有正n边形格子的几何图象。42

42 这说明在同一晶体上会有不同的对称轴，为了对对称轴进行分类，现引入轴次 和基转角的概念： 图形旋转一周相同部分重复的次数称轴次（n），重复时所旋转的最小角度称基 转角（），轴次与基转角的关系为：n=360/。 对称轴用 L n 表示，n 为轴次。晶体外形上可能出现的对称轴及相应基转角见表 4-1。 表 4-1 晶体外形上可能出现的对称轴及相应基转角 名称 符号 基转角 作图符号 一次对称轴 L 1 360° 二次对称轴 L 2 180°  三次对称轴 L 3 120°  四次对称轴 L 4 90°  六次对称轴 L 6 60°  由于任何物体绕任一轴线旋转 360°均复原，因此，L 1 是随处皆在的，这样，一 次对称轴也就失去了实际意义。所以，除了特定的场合以外，在以后的讨论中对 L 1 都不再涉及。 轴次高于 2 的对称轴 L 3、L 4、L 6 为高次轴。L 2、L 3、L 4、L 6 的横截面形状及作 图符号如图 4-4 所示。 L 2 L 3 L 4 L 6 图 4-4 晶体中的对称轴 L 2、L 3、L 4 和 L 6 举例 对称定律：晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴。因为它们不符合空间 格子规律。在空间点阵中如果出现 n 次对称轴，则在垂直 L n 的平面点阵中便有正 n 边形格子的几何图象

各种同样大小的花砖铺地所形成的几何图象，就与平面点阵中划分的格子十分类似。正五边形和正n边形（n>6）不能铺满平面，因而不能形成相应的平面格子（图4-5），换言之，点阵中只允许1、2、3、4、6次对称轴。在晶体中，可以没有对称轴，也可以同时出现不同轴次的对称轴，同轴次的对称轴也可以是一个或多个。描述时将其数目写在L"之前，如3L、6L-等。晶体中对称轴可能出现的位置有（图4-3a）：（1）晶面中心；（2）晶棱中点：(3）角顶。对称轴是通过晶体中心的直线，其球面投影为两个点。在极射赤平投影图上，与投影平面垂直的直立对称轴，投影点落在基圆中心：与投影平面平行的水平对称轴，投影点落在基圆上：与投影平面斜交的倾斜对称轴，投影点落在基圆内（图4-3b）。dfeg图4-5垂直对称轴所形成的多边形网孔a、b、c、d、e、f、g分别表示垂直L2、L3、L4、L5、L、L、L*的多边形网孔，五、七、八边形网孔不能无间隙地排列3.对称中心（C）对称中心是位于晶体中心的一个假想的点，如果过对称中心作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端，必可找到对应点。相应的对称操作是对此点的反伸。对称中心用C表示。它的作用相当于二个照相机镜头。由对称中心联系起来的两个部分，分别相当与物体和像，两者互为上下、左右、前后均颠倒相反的关系。所不同的是，相当于物体和像的两部份的大小相等，且距对称中心的距离也相等。图4-6是一个具有对称中心的图形，点C为对称中心，在通过C点所做的直线上，距C点等距离的两端均可以找到对应点，如A和A1，B和B。也可以这样认43

43 各种同样大小的花砖铺地所形成的几何图象，就与平面点阵中划分的格子十分 类似。正五边形和正 n 边形（n＞6）不能铺满平面，因而不能形成相应的平面格子 （图 4-5），换言之，点阵中只允许 1、2、3、4、6 次对称轴。 在晶体中，可以没有对称轴，也可以同时出现不同轴次的对称轴，同轴次的对 称轴也可以是一个或多个。描述时将其数目写在 L n 之前，如 3L4、6L2 等。 晶体中对称轴可能出现的位置有（图 4-3a）： ⑴ 晶面中心； ⑵ 晶棱中点； ⑶ 角顶。 对称轴是通过晶体中心的直线，其球面投影为两个点。在极射赤平投影图上， 与投影平面垂直的直立对称轴，投影点落在基圆中心；与投影平面平行的水平对称 轴，投影点落在基圆上；与投影平面斜交的倾斜对称轴，投影点落在基圆内（图 4-3b）。 a b c d e f g 图 4-5 垂直对称轴所形成的多边形网孔 a、b、c、d、e、f、g 分别表示垂直 L 2、L 3、L 4、L 5、L 6、L 7、L 8、 的多边形网孔，五、七、八边形网孔不能无间隙地排列 ⒊ 对称中心（C） 对称中心是位于晶体中心的一个假想的点，如果过对称中心作任意直线，则在 此直线上距对称中心等距离的两端，必可找到对应点。相应的对称操作是对此点的 反伸。 对称中心用 C 表示。它的作用相当于一个照相机镜头。由对称中心联系起来的 两个部分，分别相当与物体和像，两者互为上下、左右、前后均颠倒相反的关系。 所不同的是，相当于物体和像的两部份的大小相等，且距对称中心的距离也相等。 图 4-6 是一个具有对称中心的图形，点 C 为对称中心，在通过 C 点所做的直线 上，距 C 点等距离的两端均可以找到对应点，如 A 和 A1，B 和 B1。也可以这样认

为，取图形上任意一点B，与对称中心C连线，再由对称中心C向相反方向延伸等距离，必然找到对应点B1。一个具有对称中心的图形，其中心相对的两侧的晶面和晶棱都表现为反向平行，如图4-7，C为对称中心，AABD与AA,BD为反向平行。晶体中若存在对称中心，其晶面必是两两反向平行且相等的：反过来说，若晶体上晶面两两反向平行且相等，则晶体必然存在对称中心。b图4-7由对称中心联系起来的两个反向平行的图4-6具有对称中心（C）的图形A与AlI、B与B:为对应点三角形（a）和平行四边形（b）4.旋转反伸轴（L"）旋转反伸轴是通过晶体中心的一根假想的直线，图形绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，可使相同部分重复。相应的对称操作为绕此直线的旋转和对此直线上一点反伸的复合操作。在这里，旋转和反伸是对称变换的两个不可分割的动作，无论是先旋转后反伸，还是先反伸后旋转，效果是相同的。但必须是两个动作连续完成以后才能使晶体还原。旋转反伸轴用L"表示，i意为反伸，n为轴次。n可为1、2、3、4、6：α为基转角，n=360α。同理，晶体中不可能出现五次及高于六次的旋转反伸轴。L1：相应的对称操作是旋转360°加反伸。因为图形旋转360°等于没有旋转，所以对称变换相当于没有旋转而单纯反伸，与对称中心的单独作用等效。如图4-8(a)，点1反伸与点2重合，所以L=C，即L与C等效。L2：相应的对称操作为旋转180°加反伸。如图4-8(b)，点1围绕L转180°以后，再凭借L上的一点反伸与点2重合。但由图可看出，借助于工L的P的反映，也同样可使1与2重合。因此，L?=P，即L?与跟它垂直的对称面P等效。L：对称操作为旋转120°加反伸。如图4-8(c)，点1旋转120°后反伸可以得到点2：点2旋转120°后反伸可以得到点3：点3旋转120°后反伸可以得到点4：点4旋转120°后反伸可以得到点5：点5旋转120°后反伸可以得到点6。这样，由一个原始的点经过L的作用，可依次获得1、2、3、4、5、6共六个点。现在如果用L+C44

44 为，取图形上任意一点 B，与对称中心 C 连线，再由对称中心 C 向相反方向延伸等 距离，必然找到对应点 B1。 一个具有对称中心的图形，其中心相对的两侧的晶面和晶棱都表现为反向平行， 如图 4-7，C 为对称中心，△ ABD 与△ A1B1D1 为反向平行。晶体中若存在对称中心， 其晶面必是两两反向平行且相等的；反过来说，若晶体上晶面两两反向平行且相等， 则晶体必然存在对称中心。 a b 图 4-6 具有对称中心（C）的图形 图 4-7 由对称中心联系起来的两个反向平行的 A 与 A1、B 与 B1 为对应点 三角形（a）和平行四边形（b） ⒋ 旋转反伸轴（Li n） 旋转反伸轴是通过晶体中心的一根假想的直线，图形绕此直线旋转一定角度后， 再对此直线上的一个点进行反伸，可使相同部分重复。相应的对称操作为绕此直线 的旋转和对此直线上一点反伸的复合操作。在这里，旋转和反伸是对称变换的两个 不可分割的动作，无论是先旋转后反伸，还是先反伸后旋转，效果是相同的。但必 须是两个动作连续完成以后才能使晶体还原。 旋转反伸轴用 Li n 表示，i 意为反伸，n 为轴次。n 可为 1、2、3、4、6；α 为基 转角，n=360°/α。同理，晶体中不可能出现五次及高于六次的旋转反伸轴。 Li 1：相应的对称操作是旋转 360°加反伸。因为图形旋转 360°等于没有旋转，所 以对称变换相当于没有旋转而单纯反伸，与对称中心的单独作用等效。如图 4-8(a)， 点 1 反伸与点 2 重合，所以 Li 1 = C，即 Li 1 与 C 等效。 Li 2：相应的对称操作为旋转 180°加反伸。如图 4-8(b)，点 1 围绕 Li 2 转 180°以后， 再凭借 Li 2 上的一点反伸与点 2 重合。但由图可看出，借助于⊥Li 2 的 P 的反映，也 同样可使 1 与 2 重合。因此，Li 2 = P，即 Li 2 与跟它垂直的对称面 P 等效。 Li 3：对称操作为旋转 120°加反伸。如图 4-8(c)，点 1 旋转 120°后反伸可以得到 点 2；点 2 旋转 120°后反伸可以得到点 3；点 3 旋转 120°后反伸可以得到点 4；点 4 旋转 120°后反伸可以得到点 5；点 5 旋转 120°后反伸可以得到点 6。这样，由一个原 始的点经过 Li 3 的作用，可依次获得 1、2、3、4、5、6 共六个点。现在如果用 L 3 + C

代替L3，则由点1开始经L3的作用可得点1、3、5三个点，再通过C的作用又获得点2、4、6三个点，总共六个点。与L3所导出的结果完全相同。因此，L=L3+C。L4：相应的对称操作为转90°后反伸。如图4-8(d)，点1旋转90°反伸可以得到点2：点2旋转90°反伸可以得到点3：点3旋转90°反伸可以得到点4。这样，通过L4的作用，可依次获得1、2、3、4四个点。L4是一个独立的复合对称要素，它的作用无法由其他对称要素或它们的组合来代替。L§：对称操作为旋转60°后反伸。如图4-8(e)，从点1开始，旋转60°后反伸得点2，依次类推，通过L°的作用依次获得1、2、3、4、5、6六个点。若用L+P代替L，则由点1开始，经L3作用可得1、3、5三个点，再通过垂直于L的P的作用又可获得2、4、6三个点，总共六个点，与L‘导出的完全相同。因此，L‘=L3+P(PIL)。一bdac图4-8旋转反伸轴及对称操作示意图综上所述，除L之外，其他所有旋转反伸轴都可以用其他简单对称要素或它们的组合来代替。其关系归纳如下L=C, L2=P, L3=L3+C, L6=L+P1。一般常用的旋转反伸轴为L4和L。L肯定是必需的，它不能用其他对称要素代替。L‘和L3+PI等效，由于L‘在晶体分类中的特殊意义，故采用L代替L+P1的组合。除L4和L‘之外，其他旋转反伸轴均用等效的简单对称要素或其组合代替。四次旋转反伸轴L对称操作为绕此直线旋转90°和对于其上一点进行反伸的复合。图4-9是一个具有L的晶体及其极射赤平投影图。图4-9a表示晶体起始位置的位象。当绕L4旋转90°，到达图4-9b所示的过渡位象时，晶体显然尚未复原；只有再通过L上的一点进行反伸之后才会使晶体复原。图c中的实线和虚线，分别代表45

45 代替 Li 3，则由点 1 开始经 L 3 的作用可得点 1、3、5 三个点，再通过 C 的作用又获 得点 2、4、6 三个点，总共六个点。与 Li 3 所导出的结果完全相同。因此，Li 3 = L3 +C。 Li 4：相应的对称操作为转 90°后反伸。如图 4-8(d)，点 1 旋转 90°反伸可以得到 点 2；点 2 旋转 90°反伸可以得到点 3；点 3 旋转 90°反伸可以得到点 4。这样，通过 Li 4 的作用，可依次获得 1、2、3、4 四个点。 Li 4 是一个独立的复合对称要素，它的作用无法由其他对称要素或它们的组合来 代替。 Li 6：对称操作为旋转 60°后反伸。如图 4-8(e)，从点 1 开始，旋转 60°后反伸得 点 2，依次类推，通过 Li 6 的作用依次获得 1、2、3、4、5、6 六个点。若用 L 3 + P 代 替 Li 6，则由点 1 开始，经 L 3 作用可得 1、3、5 三个点，再通过垂直于 L 3 的 P 的作 用又可获得 2、4、6 三个点，总共六个点，与 Li 6 导出的完全相同。因此，Li 6 = L3 + P （P⊥L 3）。 a b c d e 图 4-8 旋转反伸轴及对称操作示意图 综上所述，除 Li 4 之外，其他所有旋转反伸轴都可以用其他简单对称要素或它们 的组合来代替。其关系归纳如下 Li 1 = C，Li 2 = P，Li 3 = L3 + C，Li 6 = L3 +P⊥。 一般常用的旋转反伸轴为 Li 4 和 Li 6。Li 4 肯定是必需的，它不能用其他对称要素 代替。Li 6 和 L 3 + P⊥等效，由于 Li 6 在晶体分类中的特殊意义，故采用 Li 6 代替 L 3 +P⊥ 的组合。除 Li 4 和 Li 6 之外，其他旋转反伸轴均用等效的简单对称要素或其组合代替。 四次旋转反伸轴 Li 4 ,对称操作为绕此直线旋转 90°和对于其上一点进行反伸的复 合。图 4-9 是一个具有 Li 4 的晶体及其极射赤平投影图。图 4-9a 表示晶体起始位置的 位象。当绕 Li 4 旋转 90°，到达图 4-9b 所示的过渡位象时，晶体显然尚未复原；只有 再通过 Li 4 上的一点进行反伸之后才会使晶体复原。图 c 中的实线和虚线，分别代表

晶体的起始位象和绕L4旋转90°后的过渡位象，显然，过渡位象中的AB'C再通过L上的一点倒反后，即可与起始位象中的CDB重复。同时，还有ABD'与CDA、CD'A与BAC、CD'B与BAD的重复，整个晶体第一次复原。旋转360°，晶体共有四次重复。对于L1来说，因为连续施行两次倒转对称变换，等于纯粹旋转了180°，所以，在L内总是包含着一个与它重合的L"在内。A心oABDBDCACDABCodbc图4-9具L的四方四面体及其极射赤平投影对于L‘来说，相应的对称变换是旋转60°和倒反的复合。图4-9是一个横切面呈等边三角形的柱状晶体，它具有一个L。图4-9a表示其处于起始位置时的位象；图4-9b中的虚线则表示晶体在绕L6旋转60°后所处的位象，显然，此时晶体尚未复原，需要再通过中心点的倒反后，晶体才达到复原。但从图中还可以看出，该晶体中与L相重合还存在着一个L3，且垂直此L3还有一个对称面P存在（图4-9c)。整个晶体既可以单纯借助于L6的变换而复原，也可以通过相互独立的L3和P两者的共同作用而复原。这就意味着各自独立的一个L3同与之垂直的一个P两者的组合，它们的联合作用完全等同于与L3相重合的一个L6的单独作用。ba图4-9具有L的三方柱的图示46

46 晶体的起始位象和绕 Li 4 旋转 90°后的过渡位象，显然，过渡位象中的 A′B′C′再通过 Li 4 上的一点倒反后，即可与起始位象中的 CDB 重复。同时，还有 A′B′D′与 CDA、 C′D′A′与 BAC、C′D′B′与 BAD 的重复，整个晶体第一次复原。旋转 360°，晶体共有 四次重复。 对于 Li 4 来说，因为连续施行两次倒转对称变换，等于纯粹旋转了 180°，所以， 在 Li 4 内总是包含着一个与它重合的 L 2 在内。 a b c d 图 4-9 具 L 4 1 的四方四面体及其极射赤平投影 对于 Li 6 来说，相应的对称变换是旋转 60°和倒反的复合。图 4-9 是一个横切面 呈等边三角形的柱状晶体，它具有一个 Li 6。图 4-9a 表示其处于起始位置时的位象； 图 4-9b 中的虚线则表示晶体在绕 Li 6 旋转 60°后所处的位象，显然，此时晶体尚未复 原，需要再通过中心点的倒反后，晶体才达到复原。但从图中还可以看出，该晶体 中与 Li 6 相重合还存在着一个 L 3，且垂直此 L 3 还有一个对称面 P 存在(图 4-9c)。整 个晶体既可以单纯借助于 Li 6 的变换而复原，也可以通过相互独立的 L 3 和 P 两者的 共同作用而复原。这就意味着各自独立的一个 L 3 同与之垂直的一个 P 两者的组合， 它们的联合作用完全等同于与 L 3 相重合的一个 Li 6 的单独作用。 a b c 图 4-9 具有 Li 6 的三方柱的图示

5.旋转反映轴(Ls")旋转反映轴又称映转轴，也是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素为一根假想的直线和垂直此直线的一个平面：相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此平面反映的复合。在晶体中，只能有一次、三次、三次、四次及六次的映转轴。基于等效关系的考虑，我们可以得出如下的结论：(1) Ls=P=L2 :(2) Ls2=C=LI ;(3) Ls3=-L3+P= L;:(4) Ls= L4;(5) Ls- L3+C= L3:所以，每一个映转轴都可以由与之等效的倒转轴来代替它。在以后的叙述中，我们将不再采用映转轴，而由相应的倒转轴来代替它们。有的书中不用倒转轴而采用映转轴。不过，实际使用的也只有四次和六次映转轴两种，它们的符号经常被分别写为L2和L3。符号中下角的数字代表映转轴本身的轴次，上角的数字则代表该映转轴中所包含的对称轴之轴次。映转轴因其在对称分类时颇为不便，故在对称型和空间群的国际符号中均已掘弃不用。综上所述，在晶体中可能存在的宏观对称要素（映转轴除外）可归纳如表4-2所列。表4-2白晶体的宏观对称要素对称对称轴旋转反伸轴对称面对称要素中心一次三次三次四次六次三次四次六次点辅助几何要素直线平面直线和直线上的定点对于平面对于点绕直线的旋转和对于对称操作围绕直线的旋转的反映的倒反定点的反伸基转角360°180°120°90°60°1200900600L2L3LL6L3LPCLiL:6习惯符号34612346m1国际符号L2L'+PLIL3+C等效对称要素1+.A图示记号双线或粗线o或Ca第三节对称要素的组合及对称型一、对称要素的组合定理在结晶多面体中，可以只有一个对称要素，也可以同时存在一个以上的对称要素。任意两个对称要素同时存在一个晶体上时，将产生第三个对称要素，且产生的个数一定。因此，晶体上对称要素的组合不是随意的。除必须遵循对称定律外，还必须符合对称要素的组合定理。定理1如果有一个对称面P包含L"，则必有n个P同时包含此L"：L"+Pu=47

47 ⒌旋转反映轴(LS n ) 旋转反映轴又称映转轴，也是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素为一根 假想的直线和垂直此直线的一个平面；相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的 角度及对于此平面反映的复合。在晶体中，只能有一次、二次、三次、四次及六次 的映转轴。 基于等效关系的考虑，我们可以得出如下的结论： ⑴ LS 1 =P=Li 2 ； ⑵ LS 2 =C=Li 1 ； ⑶ LS 3 =L3 +P= Li 6 ； ⑷ LS 4 = Li 4 ； ⑸ LS 6 = L3 +C= Li 3 ； 所以，每一个映转轴都可以由与之等效的倒转轴来代替它。在以后的叙述中， 我们将不再采用映转轴，而由相应的倒转轴来代替它们。有的书中不用倒转轴而采 用映转轴。不过，实际使用的也只有四次和六次映转轴两种，它们的符号经常被分 别写为 L4 2 和 L6 3。符号中下角的数字代表映转轴本身的轴次，上角的数字则代表该 映转轴中所包含的对称轴之轴次。映转轴因其在对称分类时颇为不便，故在对称型 和空间群的国际符号中均已掘弃不用。 综上所述，在晶体中可能存在的宏观对称要素(映转轴除外)可归纳如表 4-2 所列。 表 4-2 晶体的宏观对称要素 对称要素 对称轴 对称面 对称 中心 旋转反伸轴 一次 二次 三次 四次 六次 三次 四次 六次 辅助几何要素 直线 平面 点 直线和直线上的定点 对称操作 围绕直线的旋转 对于平面 的反映 对于点 的倒反 绕直线的旋转和对于 定点的反伸 基转角 360o 180o 120o 90o 60o 120o 90o 60o 习惯符号 L 1 L 2 L 3 L 4 L 6 P C Li 3 Li 4 Li 6 国际符号 1 2 3 4 6 m 1 3 4 6 等效对称要素 Li 2 Li 1 L 3 +C L 3 +P 图示记号 ▲ ◆  双线或粗线 ○或 C △ ◇ 第三节 对称要素的组合及对称型 一、对称要素的组合定理 在结晶多面体中，可以只有一个对称要素，也可以同时存在一个以上的对称要 素。任意两个对称要素同时存在一个晶体上时，将产生第三个对称要素，且产生的 个数一定。因此，晶体上对称要素的组合不是随意的。除必须遵循对称定律外，还 必须符合对称要素的组合定理。 定理 1 如果有一个对称面 P 包含 L n，则必有 n 个 P 同时包含此 L n：L n + P∥ =

L"nP，且任二相邻的P之间的夹角等于360°/2n。见图4-11中电气石晶体的情况。逆定理：如果两个对称面P以角相交，则两者交线必为一n次对称轴L"，n=360°/28。定理2如果有一个L垂直于L"，则必有n个L?垂直于L"：L"+L?1=L"nL。例如图4-11所示α-石英晶体中的情况定理3偶次对称轴垂直对称面，交点必为对称中心：L"（偶）+P1=L"PC。例如图4-11所示正长石和磷灰石晶体中的情况。定理4如果有一个P包含L"，或有一个L垂直L"，当n为偶数时，必有n/2个P包含L"和n/2个L?垂直L"：当n为奇数时，必有n个P包含L"和n个L?垂直L":Ln（偶）+L2，（或Pu)=L"(n/2)L2（n/2)P,L"（奇)+L2（或Pu)=L"nL2nP。例如图4-11所示黄铜矿晶体中的情况。定理5如果有轴次分别为n和m的两个对称轴以角斜交时，围绕L"必有n个共点且对称分布的L"：同时，围绕L"必有m个共点且对称分布的L"：L"+L"=nL"mL"。且任二相邻的L"与L"之间的交角均等于8。如图4-12董石晶体中的情况。L?3P（电气石）L?3L（α-石英）LPC（正长石）LPC（磷灰石）L°3L3PC（方解石）L2L*2P(黄铜矿）图4-11某些对称型中对称要素在空间的组合情况48

48 L n nP，且任二相邻的 P 之间的夹角等于 360 °/2n。见图 4-11 中电气石晶体的情况。 逆定理：如果两个对称面 P 以 δ 角相交，则两者交线必为一 n 次对称轴 L n， n=360o /2δ。 定理 2 如果有一个 L 2 垂直于 L n，则必有 n 个 L 2 垂直于 L n：L n + L2 ⊥= Ln nL2。 例如图 4-11 所示 α-石英晶体中的情况 定理 3 偶次对称轴垂直对称面，交点必为对称中心：L n（偶）+P⊥ = Ln PC。例 如图 4-11 所示正长石和磷灰石晶体中的情况。 定理 4 如果有一个 P 包含 Li n，或有一个 L 2 垂直 Li n，当 n 为偶数时，必有 n/2 个 P 包含 Li n 和 n/2 个 L 2 垂直 LI n；当 n 为奇数时，必有 n 个 P 包含 Li n 和 n 个 L 2 垂 直 Li n： Li n（偶）+L2 ⊥（或 P∥）= Li n（n/2）L 2（n/2）P，Li n（奇）+L2 ⊥（或 P∥）= Li n nL2 nP。 例如图 4-11 所示黄铜矿晶体中的情况。 定理 5 如果有轴次分别为 n 和 m 的两个对称轴以 δ 角斜交时，围绕 L n 必有 n 个共点且对称分布的 L m；同时，围绕 L m 必有 m 个共点且对称分布的 L n： L n +Lm =nLmmLn。 且任二相邻的 L n 与 L m 之间的交角均等于 δ。如图 4-12 萤石晶体 中的情况。 L 3 3P（电气石） L 3 3L2（α-石英） L 2 PC（正长石） L 6 PC（磷灰石） L 3 3L2 3PC（方解石） LI 4 2L2 2P(黄铜矿) 图 4-11 某些对称型中对称要素在空间的组合情况