《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 角动量理论 3.1 转动及角动量的对易关系 §3.2 自旋1/2体系和有限转动

第3章角动量理论本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是必须的；散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方面的考虑。角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广角动量理论重要和应用广泛的原因：平动和转动是粒子运动的基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数

第3章 角动量理论 本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。 角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是 必须的； 散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方 面的考虑。 角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广。 角动量理论重要和应用广泛的原因：平动和转动是粒子运动的 基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数

83.1转动及角动量的对易关系一、有限转动绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：ZR(m/2)R.(/2)R(π/2)R,(/2)FIGURE3.1.Exampleto illustratethenoncommutativityof finiterotations

§3.1 转动及角动量的对易关系 一、有限转动 ◼ 绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：

二、转动的数学描述转动不改变矢量的长度：v?+ v?+ v? = v+V? + V.2转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：VxVR正交矩阵：RRT=RTR=1VV（T表示矩阵的转置）VV,如绕Z轴转Φ角的矩阵为：0cos Φ-sin 0R,(Φ)=sindcos Φ01,0

二、转动的数学描述 转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系： 正交矩阵：RRT=RTR=1 (T表示矩阵的转置） 如绕Z轴转Φ角的矩阵为： 转动不改变矢量的长度：

三、无穷小转动由:e2001e200e222-0-ER(e)=2R,(e)=00e21R(E)=0Ee2e?2001 -8220010e20得：R,(e)R,(e)-R,(e)Rx(e) =?00000= R,(e?)-1,（若忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的）或：Rx(e)R,(e)-R,(e)Rx(e) = R,(e2)- Rany(O)

三、无穷小转动 ◼ 由： ◼ 得： （若忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的） ◼ 或：

四、量子力学中的无穷小转动[α)R= (R)lα)1）态矢的变化：R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定2）转动算符的构造参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑到角动量是转动的生成元，可得绕由单位失量所表征的轴转d中的转动算符：J.n(n, dp) =1 -dd这里厄米算符J为角动量算符。上式可看作量子动力学中角动量算符的定义。该定义比经典的角动量（XxP）定义更普适，适用于自旋等

四、 量子力学中的无穷小转动 1）态矢的变化： R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定 2）转动算符的构造 ◼ 参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑 到角动量是转动的生成元，可得绕由单位矢量 所表征 的轴转dΦ的转动算符 ： ◼ 这里厄米算符Jk为角动量算符。上式可看作量子动力学中 角动量算符的定义。该定义比经典的角动量（XxP）定义 更普适，适用于自旋等。 n ˆ

五、有限转动有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：(会(鲁)の,(Φ) = limN18iJ.d=exphRo?iJ,Φ2h2h2

五、有限转动 ◼ 有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：

六、转动算符的性质假定D(R)与R具有相同的群性质（合理要求）：Identity:R·1=R=(R)1=(R)Closure:R,R2 = R3 = (R)D(R2) = (R3)RR-1=1= (R)の-1(R)=1Inverses:R-1R =1= -1(R)(R)=1Associativity: Ri(R2R3)=(R,R2)R3 = R,R2R3= (R)[D(R2)D(R3))=[D(R)(R2)]D(R3)= (R1)D(R2)(R3)

六、转动算符的性质假定 ◼ D(R)与R具有相同的群性质（合理要求）：

七、角动量算符的对易关系对应于 R(e)R,(e)-R,()Rx()=R,(ε2)-Rany(O有：eiJ,eJRe?iJ,ehh2 h22h2Re?ij,eJRe2iJ,eiJ,e71hhh2h22h2[Jx, J,] =ihJ,得对易关系：综合Jx与J,及J与J,的关系，可得角动量算符的基本对易关系：[J,J]=iheijkJk该式归纳了三维转动的所有基本性质。由于不同J不对易，三维的转动群为非Abel群

七、角动量算符的对易关系 ◼ 对应于 ◼ 有： ◼ 得对易关系： ◼ 综合Jx与Jz及Jy与Jz的关系，可得角动量算符的基本对易 关系： ◼ 该式归纳了三维转动的所有基本性质。 ◼ 由于不同Ji不对易，三维的转动群为非Abel群

83.2自旋1/2体系和有限转动、自旋1/2体系的转动算符能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2电子的自旋算符：Sx=((I+×-I)+(I-×+)),(2ih-(I+>-)+(I-×+)2(≤)(I+×+1)-(1-×-D)-容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋1/2体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实

§3.2 自旋1/2体系和有限转动 一、自旋1/2体系的转动算符 ◼ 能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2. ◼ 电子的自旋算符： ◼ 容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋1/2 体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实

二、转动对自旋角动量的影响考虑绕乙转Φ，态的变化为：IS.dD,(Φ) = exp[α)r=,(Φ)[α)h物理量如S的测量结果变为：→ r+[e-i冲/2)[(I+-D)+(I-X+)cos++i(I+X-)-(I-+D)sing)= S,cosΦ-S,sinp

二、转动对自旋角动量的影响 ◼ 考虑绕Z转Φ，态的变化为： ◼ 物理量如Sx的测量结果变为： ◼ →需要计算