《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 量子动力学 2.3 简谐振子

三、几率流连续性方程波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几率密度，p(,)=(,t)=[α,fo;t)在附近d的体积内找到该粒子的几率为p(x,t)d'xp+V.j=0由含时方程可推出连续性方程atLn其中j=-[y"V-(Vy)="I.("Vy2m该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。D几率流与动量有关：「d'x(x,t)m

三、几率流连续性方程 ◼ 波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几 率密度， ◼ 在 附近 的体积内找到该粒子的几率为 ◼ 由含时方程可推出连续性方程 其中 ◼ 该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结 果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。 ◼ 几率流与动量有关： ( ) ( ) 2 2 0    x t x t x t t    , , , ; = = x  3 d x ( ) 3  x t d x   , ( ) ( ) 2 m i j I m m          = −  −  =     ( ) 3 , t p d x j x t m =  j 0 t  +  = 

四、波函数的解释连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因此曾被认为是物质密度，e是实际电荷密度。√奇特物理图像：1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到Born提出了被广泛接受的解释，即W为几率密度的统计解释。不过Born的解释也不是没有争议的重新思考：相位、完整性、电子云

四、波函数的解释 ◼ 连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因 此 曾被认为是物质密度， 是实际电荷密度。 →奇特物理图像： 1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的 一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分 布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。 2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到 ◼ Born提出了被广泛接受的解释，即 为几率密度的统计 解释。 ◼ 不过Born的解释也不是没有争议的 ◼ 重新思考：相位、完整性、电子云 2  2 e 2 

is(x,t)五、波函数的相位y(x,t)= Jp(x,t) exphS为实数，p是几率密度。S的含义？由w=pvp+ovs,得：j=psm可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向与该点上等相位面垂直。对平面波VS=p.VSap+ap2+V.(py)=0虽然形式上我们有atatm但将j解释成pv，需要坐标与速度的同时精确测量而不可能（测不准关系）

五、波函数的相位 ◼ S为实数，ρ是几率密度。S的含义？ ◼ 由 得： ◼ 可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征 了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向 与该点上等相位面垂直。对平面波 ◼ 虽然形式上我们有 ◼ 但将 解释成 需要坐标与速度的同时精确测量而不 可能（测不准关系）。 ( ) ( ) ( , ) , , exp iS x t   x t x t   =       , i      S   =  +  S j m  =  = S p. . 0 ( ) S v t m t          +  = +   =       j v

六、经典极限据薛定方程有：Jpas1- [ ( )/ -中17价hatat若h可看成小量，并设hvs波动光学，经典力学->波动力学）

六、经典极限 ◼ 据薛定谔方程有： ◼ 若 可看成小量，并设 等，则上方程中不含 的部分有 与分析力学的Hamilton-Jacobi 方程相同，其中 是哈密顿主函数。 ◼ 因此，薛定谔波力学在 极限下给出经典力学。 ◼ 若将S解释成哈密顿主函数，对不含时哈密顿量，主函数 S具有可分离的形式， ◼ 称为哈密顿特征函数。 ◼ 随着时间的变化，等S面的空间演化与波动光学中的常相 位面即波前变化相似(几何光学->波动光学，经典力学->波动力学) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 . 2 i i S S S V m          −  +   −  +  +         i S i t t       = +         2 2    S S 1 2 0, 2 S S V m t   + + =  S x t ( , ) →0 S x t W x Et ( , ) = − ( ) W x( )

七、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解经典Hamilton-Jacobi方程的解是S(x,t)=W(x)-Et =±[*dx' /2m[E-V(x)]Eaasap1ap2=0,由连续性方程对定态atm oxOxat得。dw1故P=constant=±pJ2m[E-V]=constantOdx(x)72E-Vclass与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致WKB解：iEtconstantdx'/2m|E-V(x(x,t):CXIhE-V

七、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解 ◼ 经典Hamilton-Jacobi方程的解是 ◼ 对定态 由连续性方程 ◼ 得 故 ◼ 与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致 ◼ WKB解： ( , 2 ' ) = − =  − − ( )    ( )    x S x t W x Et dx m E V x Et 0, t  =  1 0 S t m x x        + =        2   dW m E V constant dx   =  − = ( ) 1 4 1 class constant E V x v  =    −   ( ) ( ) ( ) 1 4 , exp 2 constant i iEt x x t dx m E V x E V x      − −          −     

hV2s<</Vs八、WKB近似成立条件：dwd'w条件对应于：hdr2dx12mdw2m(E-V)dw[2m[E-V]dx?dx2VE-Vdxd'wdr?元hhh无二dv2元p2m(E-12mdxd'w2hm(E-v)dr?大<dvdvdv2m2mdxdxdx或者说无必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短波极限下是可信的

八、WKB近似成立条件： ◼ 条件对应于： ◼ ◼ 或者说 必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短 波极限下是可信的。 2 2    s s 2 2 2 d W dW dx dx  ( ) 2 2 2 2 2 m dV d W d m E V dx dx dx E V − = = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d W dx p m E V m dV m dx d W m E V dx dV dV m m dx dx   = = = = −   −   =  2( ) E V dV dx − →  2   dW m E V dx = −

九、完整的WKB解constantH[-exp(+["dr /2m(V-)-对E-VV(x)区振荡，在E<V(x)区指数衰减

九、完整的WKB解 ◼ 对 区,有 ◼ 对 不满足 。上述解不成 立,需要将上述两解以适当方式连接。标准步骤是： ◼ 1．在 附近将V(x)线性化。 ◼ 2．解微分方程 得与 阶Bessel函数相关的严格解。该解适用于x0附近 ◼ 3. 该第三个解需通过选择合适的积分常数与另两解匹配 ◼ 这里不讨论这些步骤的细节而只给出基本结果：波函数 在E>V(x)区振荡，在E<V(x)区指数衰减。 E V−  0 ( )   ( ) 1 4 tan 1 , exp 2 cons t iEt x x t dx m V E V E        =  − −        −      V E  , → , x V x E 0 0 ( ( ) = ) ( ) 0 2 2 2 0 2 0 E E x x d u m dV x x u dx dx =   − − =     1 3  2 /  − ( ) E V dV dx

2.3简谐振子简谐振子是量子力学中最重要的问题之一，可用于解释量子力学的基本概念与方法，也在现代物理的许多分支包括分子光谱，固体物理，核结构，量子场论，量子光学，量子统计等等领域有重要应用。历史上正是Planck提出辐射振子的分立能量单位而导致了量子概念的产生。谐振子势的基本特性：可作为大量势场的近似哈密顿量：两个正则共轭变量的平方和（量子场论众多问题的出发点对谐振子量子性质的深刻了解是现代物理学者所必需的

2.3 简谐振子 简谐振子是量子力学中最重要的问题之一，可用于解释量 子力学的基本概念与方法，也在现代物理的许多分支包括 分子光谱，固体物理，核结构，量子场论，量子光学，量 子统计等等领域有重要应用。历史上正是Planck提出辐射 振子的分立能量单位而导致了量子概念的产生。 谐振子势的基本特性：可作为大量势场的近似 哈密顿量：两个正则共轭变量的平方和（量子场论众多问题的出发点） 对谐振子量子性质的深刻了解是现代物理学者所必需的

一、能量本征态和能量本征值mo"xbH=A谐振子的哈密顿量是22mkw是经典振子的角频率，与弹性常数k的关系是0m定义两非厄米算符momoipipaa=x+2h2h1momo[a,at]=([x, p](-i)+[p,x]i]=1根据x与p的对易关系，得定义H1pmoN=atax.p+mo?22h2hhoH=ho(N+)，H与N对易而有共同本征态。故有设N的本征态|n)满足N|n)=n|n)，则 Hn)=(n+)ho|n)1即能量能征值为E.=hon+2

一、能量本征态和能量本征值 ◼ 谐振子的哈密顿量是 ◼ ω是经典振子的角频率，与弹性常数k的关系是 ◼ 定义两非厄米算符 ◼ 根据x与p的对易关系，得 ◼ 定义 ◼ 故有 ，H与N对易而有共同本征态。 ◼ 设N的本征态 满足 ，则 ◼ 即能量能征值为 2 2 2 2 2 p m x m   = + k m  = , 2 m ip a x m     = +     2 m ip a x m   +   = −      ( )    1` , , , 1 2 a a x p i p x i +   = − + =     2 2 2 2 , 2 2 m p i N a a x x p m   +   = = + +     1  2  = − 1 2  N    = +     n  = n n n 1 2 n n     = +     1 2 n n n     = +    

二、产生、潼灭和粒子数算符由[N,a]=[aa,a]=[at,a]a=-a,[N,at] =at得Nat |n)=([N,a*+a*N)|n)=a (n+1)|n)Na|n)=([N,a]+aN)|n) =(n-1)a|n)即at|n)和an)也是N的本征态,分别对应于本征值n+1和n-1由于把n加1或减1对应于产生或减少一个能量量子hの，故称α+和α分别为产生和灭算符

二、产生、湮灭和粒子数算符 ◼ 由 得 即 和 也是N的本征态,分别对应于本征值n+1和n-1 ◼ 由于把n加1或减1对应于产生或减少一个能量量子 ，故 称 和 分别为产生和湮灭算符。  , , , ;  , a a a a a a a a a a + + + +  = = = −            =   a n a a n a n n ( , 1 , ) ( ) + + + +  =  +  = +      =  +  = − a n a a n n a n ( , 1  ) ( ) a n + a n a + a 