《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 量子动力学 2.7 规范变换

82.7规范变换一、常数势的效应V(x)>V(x) = V(x)+ Vo牛顿力学的力不变，量子力学呢？lα, to; t>→ lα,to; t)取t.时两态同相位，则t时两态有相位差：(t - to)pla, to; t) =exp-i12mh[- ivo(t - to)=expα,h势的零点选取与相应的态矢相位变化就是一种（最简单）的规范变换

§2.7 规范变换 一、常数势的效应 ◼ V(x) → ◼ 牛顿力学的力不变，量子力学呢？ ◼ → ◼ 取t0时两态同相位， 则t时两态有相位差： ◼ 势的零点选取与相应的态矢相位变化就是一种（最简单） 的规范变换

对于整个系统，观察量随时间的变化-i(Ea"-Ea)t=EEc*ca"只与能级差有关，V无影响。但量子力学可观测经典所没有的效应：量子于涉()'da [(0)-V(0)]Φ1 - Φ2 = (InterferenceregionFIGURE24.Quantum-mechanical interference to detect a potential difference经典对应于h>0的结果不过该量子干涉很难观测到

◼ 对于整个系统，观察量随时间的变化： ◼ → 只与能级差有关，V0无影响。 ◼ 但量子力学可观测经典所没有的效应：量子干涉 ◼ 经典对应于h→0的结果 ◼ 不过该量子干涉很难观测到

二、量子力学中的重力场经典运动：=一mg2几何有关mx =- mvdgravh24量子力学：与h/m有关4=ih+ mdΦgravat2m>可产生量子效应重力诱导的量子于涉- imngl sin TIntererenceregionexph(mglil, sing)中ABD-ΦACDh2FIGURE 2.5.Experiment to detect gravity-induced quantum interference

二、量子力学中的重力场 ◼ 经典运动： 仅与几何有关 ◼ 量子力学： 与h/m有关 → 可产生量子效应 ◼ 重力诱导的量子干涉

实验结果1200M1000引力不是纯几何性的800量子力学适用于万有引力作用体系60002030-2010-30-106FIGURE2.6.Dependence of gravity-inducedphaseon theangleof rotation 8

实验结果 引力不是纯几何性的 量子力学适用于万有引 力作用体系

三、电磁场的规范变换1 aAE=B= XAo-电动力学里c at,1 A在 →+变换下不变(规范不变）A→A+VNc ot为简便,只讨论不含时情形E=-vΦ,B=XA经典H:1eAH+ep2mC量子H7eA·A+A:p)A

三、电磁场的规范变换 ◼ 电动力学里 在 变换下不变(规范不变) ◼ 为简便,只讨论不含时情形： ◼ 经典H： ◼ 量子H 1 , A A c t     → + − → +  

1.力学动量dx,[x,H](p, -eA, /c)由海森堡运动方程：indtm可见正则动量pi与mdx;/dt不同dxeA称IⅡI=m为运动学或力学动量dtceAOA对易关系：aAiheeA2[I..oxaxCCC[pr, p,] = 0II?哈密顿算符：H：+ed2md?xdll1dxdxLorentz力算符：CXB-BXm2cdtdtdtdt2ihe1="5Ck(II,BB,II,iheihe[(II×B),-(B×II),][(II,B, + B,II,)-(II,B, + B,II.)] =[II?2CChe[(I×B)-(B×I)][,1C

1. 力学动量 由海森堡运动方程： 可见正则动量 pi 与 mdxi/dt 不同 ◼ 称 为运动学或力学动量 ◼ 对易关系： ◼ 哈密顿算符： ◼ Lorentz力算符： [ , ] [ , ] ( ) j j i i i j i j ijk k i j eA A eA A e i e p p i B c c c x x c      = − − = − =   2 2 2 [ , ] ( ) [ , ] [( ) ( )] [( ) ( ) ] [ , ] [( ) ( )] i j ijk j k k j x y z z y z y y z x x i e B B c i e i e B B B B B B c c i e B B c   =  +     =  +  −  +  =   −    =   − 

2.薛定方程eA(eA(xi2ma+ ep(x')(x'lα, to; t)>=ihJα,to;t)Xatie'-A相当于hcap-0连续性方程仍成立：atIm(*A/山l但mmj=()(vs-)或[d3x'j = (P-eA/c)且/ mm

2. 薛定谔方程 ◼ 相当于 ◼ 连续性方程仍成立： ◼ 但 ◼ 或 ◼ 且

3.规范变换由于B=V×A，对给定B，可选不同的AA,=0,A,=0A, = - By,如 B= B2,Bx-By-BxyA,=0或(+V222A的选取不应改变物理现实dx/dt=/m，几必须是规范不变的，而p=+eA/c会变量子：力学量观测结果（期望值）不变

3. 规范变换 ◼ B A =  

物理限制对态变换的要求A=A+VA对要求：= F(x)=e^(x)/hc

物理限制对态变换的要求： ◼ 对 ◼ 要求： ◼ 即求合适的幺正变换 ◼ 使得 ◼ 幺正 ~ exp(i f(x,p)); 与x对易 ~ exp(iF(x)) ◼ [p, exp(iF(x))]=-iħ exp(iF(x)) [i▽F(x)] ◼ → F(x)=eɅ(x)/ħc

结果：ieA (xexphc幺正1)2)与x对易由于3)-ieAieienienexppexhchchohoieNeihvexpexphchcevA(2p+c故：eAeAevACCC

结果： ◼ 1）幺正 ◼ 2）与x对易 ◼ 3）由于 ◼ 故：