《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 角动量理论 3.3 正交群、幺正幺模群和Euler转动 3.4 密度算符与混合系综

五、2元转动的中子干涉测量研究要观测到态失转2π后的负号，需将转动前后的态失进行比较。如图所示，8interferenceregionBFIGURE 3.2.Experiment to study the predicted minus sign under a 2m rotation当AB中子束在相于区相遇，其磁场导致的相位差为wT/2，T为经过有场区的时间,W为自旋进动频率0=gneB/2m,c干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(wT/2)8元hc产生干涉极大的相邻B为(I为有场区路径长度)：△B3=egntl实验结果证实了量子力学预言的正确性

五、2π转动的中子干涉测量研究 ◼ 要观测到态矢转2π后的负号，需将转动前后的态矢进行 比较。 ◼ 如图所示， ◼ 当AB中子束在相干区相遇，其磁场导致的相位差为ωT/2 , T为经过有场区的时间,ω为自旋进动频率 ◼ 干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(ωT/2). ◼ 产生干涉极大的相邻B为(l为有场区路径长度): ◼ 实验结果证实了量子力学预言的正确性。 2  = n p g eB m c 8  = n c B eg l

83.3正交群、幺正幺模群和Euler转动正交群一个转动可用三个实数表征：转轴的极角和方位角，及转角。可用3×3正交矩阵R描述：不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示由于RRT=RTR=1相当于6个独立方程，这3×3正交矩阵的9个元素只有3个是独立的。正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，即SO(3)群。S表示特殊，即只考虑了转动，而无反演：O表示正交，即RRT=1：3表示空间维数。SO(3)群的基本性质所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素：1.封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵R,R =(RR)(RR)=RRR,R=12.结合律：R,(R,R)=(R,R2)R，这是矩阵代数的结果3.有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1R=R4.有逆存在（对应于相反角度的转动）：RR-1=R-"R=1

§3.3 正交群、幺正幺模群和Euler转动 一、正交群 ◼ 一个转动可用三个实数表征：转轴的极角和方位角，及转角。可用 3×3正交矩阵R描述：不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 ◼ 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程，这3×3正交矩阵的9个元素 只有3个是独立的。 ◼ 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，即SO(3)群。S表示特殊，即 只考虑了转动，而无反演；O表示正交，即RRT=1；3表示空间维数。 ◼ SO(3)群的基本性质 ◼ 所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素： ◼ 1. 封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵 ◼ 2. 结合律： 这是矩阵代数的结果 ◼ 3. 有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1R=R ◼ 4. 有逆存在（对应于相反角度的转动）： 3 3 1 2 1 2 1 2 2 1 ( )( ) 1 T T T T R R R R R R R R R R = = = 1 2 3 1 2 R3 R (R R ) = (R R ) RR R R 1 1 1 = = − −

、幺正幺模群对二分量旋量%，可用一个2×2矩阵的作用来表征一个任意转动：84(-inx-n,)sinn,sincOS12ig·nd02Φ-2+in,sin()sirCO2该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变的模。幺正幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺正幺模矩阵的一般形式h为： U(a,b)=且[a|2 + [b|2 = 1b*aha*hU(a,b)的行列式为1，且么正:U(a,b)u(a,b)=h*h0对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于：dRe(a) = cosIm(a)=-n,sin2P?Re(b) = - n,sin(Im(b) = - nxsin22

二、幺正幺模群 ◼ 对二分量旋量 χ，可用一个2×2矩阵的作用来表征一个任意转动： U = ◼ 该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变χ 的模。 ◼ 幺正幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺正幺模矩阵的一般形式 为： 且 ◼ U(a,b)的行列式为1 ，且幺正： ◼ 对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于:

上述U(a,b)的集合所构成的群称为SU(2)群。S：特殊，即模为1；U：幺正。1）封闭性：U(ai, b)U(a2,b2) =U(aia2 -b,b,a,b2 +ab1)laia2 -b,b12 +[a,b2 +a*b,12 =1.2) 逆: U-l(a,b)=U(a*, -b).2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）：6aU-eiy[a]2 + [b]2 = 1,*=Ya*b*SU(2)与SO(3)的关系SU(2)与SO(3)均表征转动，但不同构，即非一一对应。SU(2)与SO(3)的对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1，转4π对应于1，但SO(3)中转2π和4π都对应于1。把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，可认为SO(3）与SU(2)局部同构

◼ 上述U(a,b)的集合所构成的群称为SU(2)群。 S：特殊，即模为1；U：幺正。 1）封闭性： 2）逆： ◼ 2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）： ◼ SU(2)与SO(3)的关系 ◼ SU(2)与SO(3)均表征转动，但不同构，即非一一对应。 ◼ SU(2)与SO(3)的对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同 一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1，转4π对应于1， 但SO(3)中转2π和4π都对应于1。 ◼ 把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，可认为SO(3) 与SU(2)局部同构

三、Euler转动三维空间的最一般转动也可用三个相继Euler转动表征：1)将刚体绕z轴转α角。空间(a)z坐标轴与刚体坐标轴在转动前是重合的，转动后刚体y轴B变为y轴；2)使刚体绕y轴转β角，刚体z轴变为z'轴；3)使刚体绕z轴转角，y轴L(b)(c)FIGURE3.4.Eulerrotations变为y"轴。用3×3正交矩阵描述这三个R(α,β,)= R,()R,(β)R,(αEuler转动，结果为：

三、Euler转动 ◼三维空间的最一般转动也可 用三个相继Euler转动表征： 1)将刚体绕z轴转α角。空间 坐标轴与刚体坐标轴在转动 前是重合的，转动后刚体y轴 变为y’轴； 2)使刚体绕y’轴转β角，刚体 z轴变为z’轴； 3)使刚体绕z’轴转γ角，y’轴 变为y’’轴。 用3×3正交矩阵描述这三个 Euler转动，结果为：

化关于刚体轴v、么的操作为关于空间固定轴的操作y与y差α角，绕y转β角可等价为：先用R(-α)将y转回到y，然后绕y转β角,再将y转回到y轴，即R,(β)=R,(α)R,(β)R_I(α)上式左右两边对y轴效果自然相同，对z>z"(z)的操作也相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。类似可证： R,()=R(β)R,()R_(β)于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为：R,()R,(β)R(α)=R,(β)R,()R_"(β)Ry(β)R,(α)= R,(α)R,(β)R,(α)R,()R,(α)= R,(α)R,(β)R,(),-即: R(α,β,)=R,(α)R,(β)R,()

◼ y’与y差α角，绕y’转β角可等价为：先用Rz (-α)将y’转回到 y，然后绕y转β角,再将y转回到y’轴，即 ◼ 上式左右两边对y’轴效果自然相同，对z→z’’(z’)的操作也 相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。 ◼ 类似可证： ◼ 于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为： ◼ 即： 化关于刚体轴y ’ 、z ’的操作为关于空间固定轴的操作

对应于Euler转动的转动算符9(α,β,)=D,(α)9,(β)9,()与R乘积对应的相应转动算符乘积：io2βio,aiosy对自旋1/2体系：expexpexp222-iα/2cos(β/2) (-sin (β/2)0-1Y/200era/2e'/20sin(β/2)cos(β/2)0(a+)/2cos(β/2)-e-1(α-)/2sin(β/2)(:e'(α-)/2sin(β/2)el(α+)/2cos(β/2)该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。上式的exp(-io2β)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。i02Bio,aio3Y是转动算符D(α,β,)的j=1/2的不可约表示，exp222-iJ.α矩阵元记为2(α,β,):2(α,β,)=exphiJβX exphh

对应于Euler转动的转动算符 ◼ 与R乘积对应的相应转动算符乘积： ◼ 对自旋1/2体系： ◼ 该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 ◼ 上式的exp(-iσ2β)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。 ◼ 是转动算符D(α,β,γ)的j=1/2的不可约表示， 矩阵元记为 ：

83.4密度算符与混合系综一、极化与非极化粒子束前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成的系综的统计预言，系综粒子均由态矢α>表征。对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子其自旋朝向是随机的。按前描述任意态的方法，[α>=c+/+>+c_/一所描述的态有特定自旋方向，其极角β和方位角α由cos(β/2)C+c_eiαsin(β/2)决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综

§3.4 密度算符与混合系综 一、极化与非极化粒子束 ◼ 前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成的系 综的统计预言，系综粒子均由态矢|α>表征。 ◼ 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的 理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子， 其自旋朝向是随机的。 ◼ 按前描述任意态的方法， 所描述的态有特定自旋方向，其极角β和方位角α由 决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综

二、分数分布自旋朝向无规的系综可看作由50%/+>和50%l->的粒子组成，可用布居数（几率权重）W+=0.5和w=0.5描述注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可看作由50%|S+>和50%|Sx->组成。2）几率权重（W+，W.)是实数，没有关于不同态的相对相位的信息，用于描述不同态的非相干混合态。3）不能混淆W+(w)和|c+/2(c./2)，Jc+/2(/c./2)包含了重要的相位信息，用于描述态的相于线性叠加，如()I+>+()->，该相干叠加的结果是S+态。W+、W所对应的概念与经典几率理论的概念相仿

二、分数分布 ◼ 自旋朝向无规的系综可看作由50%|+>和50%|->的粒子组 成，可用布居数(几率权重) w+=0.5和w-=0.5描述 ◼ 注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可 看作由50%|Sx +>和50%|Sx ->组成。 ◼ 2）几率权重( w+，w- )是实数，没有关于不同态的相对相 位的信息，用于描述不同态的非相干混合态。 ◼ 3）不能混淆w+ (w- )和|c+ | 2 (|c- | 2 )， |c+ | 2 (|c- | 2 )包含了重要 的相位信息，用于描述态的相干线性叠加，如 ，该相干叠加的结果是Sx+态。 ◼ w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿

三、非极化、部分极化和完全极化SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子原子束被称为是非极化的，自旋无特定方向经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的，自旋有特定朝向。完全随机系综和纯系综是混合系综的两极端例子。如一混合系综中有70%的态由|α>描述，而30%由β>描述，则称为部分极化的。这里|α>和β>不一定要正交。例如，lα>是|S,+>，而Iβ>是|Sz->。非纯系综必须用分数布居数描述（布居数一般不唯一，但要满足描述系综总体性质的要求）

三、非极化、部分极化和完全极化 ◼ SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子， 原子束被称为是非极化的，自旋无特定方向。 ◼ 经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的， 自旋有特定朝向。 ◼ 完全随机系综和纯系综是混合系综的两极端例子。如一混 合系综中有70%的态由|α>描述，而30%由|β>描述，则称 为部分极化的。这里|α>和|β>不一定要正交。例如， |α> 是|Sx +>，而|β>是|Sz -> 。 ◼ 非纯系综必须用分数布居数描述（布居数一般不唯一，但 要满足描述系综总体性质的要求）