《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 近似方法 5.6 具有极端时间依赖性的哈密顿量

85.6具有极端时间依赖性的哈密顿量、瞬变近似哈密顿量迅速变化，系统来不及适应而停留在H变化前所处的态。aTHuOu(to +sT,to)ih-u(t,to)= Hu(t,to) t =to + sTashatHTu(t,to)~1-h(mlu(t,to) |n) ~(I-;E,777h/ Thh/Aexp(-h/可见，系统原处于Ho本征态In>，在T时刻仍近似处于In>态

§5.6 具有极端时间依赖性的哈密顿量 ◼ 一、瞬变近似 ◼ 哈密顿量迅速变化，系统来不及适应而停留在H变化前所处的态。 ◼ 可见，系统原处于H0本征态|n>，在T时刻仍近似处于|n>态。 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , )   + = = + = −   u t sT t THu i u t t Hu t t t t sT i t s 0 ( , ) 1  − HT u t t i 0 0 ( ) ( , ) (1 ) exp( ) / /   −  − −  − n n mn mn E T H H E m u t t n i i m n i T T exp( ) /   − n T E i n T

二、绝热近似H(t)=H[a(t)l,2随时间缓慢变化，t0=0时处于H(tO)的本征态/n>将追随H的变化而在t时处于H(t)的本征态|n;t>本征方程：H(t)n;t)=E,(t)|n,t)态矢演化方程：in%[α;t)= H(1)|α;t); 取[a;t)=c,(0)e10.(0[n,t) 0,() Ddat有:Ze([c,(0)| n,t)+c,(0)%| n,t)] = 0; cm() =-Zc,(0)e1l0.(0-0a(01 m; /[/%|n,t)]21对本征方程求时间导数，可得：(m,|H|n,t)=[E,(1)-Em(t)](m;t[%|n;,t)故：C(0) =-ca(0 (m11// m,1) - Z c,(0)el0(0-0(0 m1/,/m1)(t)atE,-E.dn(m)(m,t|H|n,t)1其中要求了（绝热近似条件）：E, -EmT于是有: c,(t)=eir()c,(0); ,(t)=i[(n,t"[%|n,t")]dt'; α(");t)=eirn(ei0,(0|n,t)

二、绝热近似 ◼ , λ随时间缓慢变化，t0=0时处于H(t0)的本征态|n>将追随 H的变化而在t时处于H(t)的本征态|n;t>. ◼ 本征方程： ◼ 态矢演化方程： ◼ 有： ◼ 对本征方程求时间导数，可得： ◼ 故： ◼ 其中要求了（绝热近似条件）： ◼ 于是有： H t n t E t n t ( ) ; ( ) ; = n H t H t ( ) [ ( )] =  ( ) ; ( ) ; ; ; ( ) ; 取      = =   n i t n n i t H t t t c t e n t t 0 1  ( ) ( ') ' = −  t n n t E t dt ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ; ( ) ; ] 0; ( ) ( ) ; [ ; ]      − + = = −     i t i t t n n m n n m n n n e c t n t c t n t c t c t e m t n t t t ; ; [ ( ) ( )] ; [ ;  = −  m t H n t E t E t m t n t n m t [ ( ) ( )] ( ) ; ; ( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ; ;  −    = − −  −  −   i t t n m m m n m n m n m m t H n t c t c t m t m t c t e c t m t m t t E E t ; ; 1 ; ;     −  n n m m t H n t E n t n t E E t ( ) 0 ( ) (0); ( ) ; ' [ ; ' ] '; '    = =   n t i t n n n c t e c t i n t n t dt t ( ) ( ) ( ) ; ;    = n n n i t i t t e e n t

三、贝里相位dRn,t)]=(n,t[n,t)]H = H(R(t); E,(t)= E,(R(t); n,t)=n(R(t)): eio(R) |n;t), A,(R)→ A,(R)-Vr(R),B,(R)与,(C)不变(C)取决于路径形状,而与路径的相位相位细节无关，故称几何相位。B,(R)=iV×(n;t[|n,t)]=[r(n,tI×[VR|n,t)]=i Z[r(n,t[|m;,t)×(m;,t[Vr|n,t)]m(n)m,tHn,t类似于（mtL1(n,t[V,H]|m,t)(m,t[V,H]|n,t)E.-E.=iN(Em-E,)?(m,[e )]-(m;,Hn,)m(+n)E,-Em

三、贝里相位 ◼ 对R沿曲线C移动一圈，R(T)=R(0), ◼ ◼ 取决于路径形状,而与路径的相位相位细节无关，故称几何相位。 ( ( )); ( ) ( ( )); ; ( ( )) ; ; [ ; ] ; [ ; ]  = = = =   n n R dR H H R t E t E R t n t n R t n t n t n t n t t dt ( ) ( ) 0 (0) (0)  ( ) ; [ ; ] ; [ ; ] ( ) =  =  =    T R T R T n R R R R dR T i n t n t dt i n t n t dR A R dR dt  ( ) ( ) [ ( )] ( ) = =   = n n n n    R C C A R dR A R da B R da ( ) 对 n t e n t A R A R R B R C ; ; , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) → → − i R  n n n n R   与 不变  ( ) n C ( ) 2 ( ) ( ) ; [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] ; ; [ ; ] ; [ ] ; ; [ ] ; ( )   =    =    =       = −   n R R R R R R m n R R m n m n B R i n t n t i n t n t i n t m t m t n t n t H m t m t H n t i E E ; ; ; [ ; ; ; ; [ ; ] 类似于 ]= ,   −   = − n m R R n m m t H n t m t n t t E E m t H n t m t n t E E

(n,t[VH]m,t)x(m,t[V,H]n,tB,(R)=i四、自旋/粒子的贝里相位(Em-E,)m(+n)2μs2S.R(0); E(0)=FμR(1),H =-3H(t) = H(R(t) = -hh(±;t/Sf;t)×(f;ts±;t)=(±;tsf;t)×(±;t|s|;t)S=(S+ +S)x+(S+ -S_)+S,2;(;tS|+;t)=()2211_R1B.(R):今=王-2R?(t)2R(t)R.da19Y,(C)=R?22.Q相当于相对磁场源点所张的“立体角”贝相位不依赖于路径细节，也与磁矩无关。贝里相位的实验观测，证明了理论预言的正确性

四、自旋½粒子的贝里相位 ◼ Ω 相当于相对磁场源点所张的“立体角” ◼ 贝里相位不依赖于路径细节，也与磁矩无关。 ◼ 贝里相位的实验观测，证明了理论预言的正确性。 2 2 ( ) ( ( )) ( ); ( ) ( ),   = = − =  = −   H t H R t S R t E t R t H S R 2 2 ; ; ; ; ; ; ; ; * 1 1 ( ) ( ) ; ; ; ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 1 1 ˆ ( ) ˆ 2 ( ) 2 ( ) + − + −     =    = + + − +  = = = z t S t t S t t S t t S t S S S x S S y S z t S t x iy i B R z R R t R t 2 ˆ 1 1 ( ) 2 2  n = =   R da C R 2 ( ) ; [ ] ; ; [ ] ; ( )  ( )    = −  R R n m n m n n t H m t m t H n t B R i E E

（补充）两个实用基本定理1.一维空间束缚态无兼并-h? dyd'y1+VW.=+VW,=Ey设有简并：2m dx2mdxYdydw（Uddxdx1dxdydy（束缚态）d,:d=02dxdx42=C22，即与,相同。2．（实）哈密顿本征空间波函数总可选为实函数=EV2md2mdyn+yyn-yn也是具有相同本征值的解。U22i

（补充）两个实用基本定理 1. 一维空间束缚态无兼并 ◼ 设有简并： 2. （实）哈密顿本征空间波函数总可选为实函数 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 ; 2 2       − − + = + = d d V E V E m dx m dx 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 0; ( ) 0         − = − = d d d d d dx dx dx dx dx 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 0 (束缚态)； ，即 与 相同。             − = = = → = d d c d d dx dx c 2 2 2 2 * * 2 2 * * [ ] ;[ ] 2 2 , 2 2 也是具有相同本征值的解。           − − + = + = + − = = n n n n n n n n n n r i d d V E V E m dx m dx i

（答疑）复合体系的子体系：约化密度矩阵(A+B)体系的纯量子态：>=auli)|)，Za=1iliLPAB=)ABAB(|=auai)Al)BA(l(viujvPA =Z(μPAB u)= trg(PAB)(O) = trAb(PABQ) = tr: (PA QA);(2 1)/,/,/) -( （对纠缠态子空间态的测量是不完全测量） 0-(完全不同！

（答疑） 复合体系的子体系：约化密度矩阵 ◼ (A+B)体系的纯量子态： ◼ 与 ◼ 完全不同！ 2 , 1       AB A B =  =   i i i i a i a * AB i j AB AB A B A B i j a a i j          = =  Q tr Q tr = = AB AB A A A ( ) ( Q );   ( ) A AB B AB tr       = =  10/00 1 1 1 0 ( ) 2 2 0 1 纠缠态 ， （对纠缠态子空间态的测量是不完全测量）     =      =         A A B A B A 1 1 1 1 2 2 1 1     ，    =    =         

作业：5.35

作业: 5.35