《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 量子力学中的对称性 4.3 分立对称性：晶格平移 4.4 时间反演分立对称性

84.3分立对称性：晶格平移晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用对一维周期势，+(a)V(x）(a)=V(x+a)=V(x)，a为晶格常数。[H，T（a)]=O，（a)和H可同时对角化在H和（a)的共同本征矢中，由于幺正而非厄米，的期待值为复数且模为1。为求出π（a)的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为n>Hn>=E。|n>，n表示格点位置，不同n>简并。虽然|n>是H的本征态,且H与 (a)对易，|n>不是(a)的本征态。将不同|n>线性叠加，可得到T（a)的本征态：[0)=e0 n),-≤0<πt(a)[0)=Zeim [n+1)=e-i0 [0)H|0)=Zem°E|n)= E.[0)①)是H和t(a)的共同本征态

§4.3 分立对称性：晶格平移 ◼ 晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用。 ◼ 对一维周期势，τ+(a)V(x)τ(a)=V(x+a)=V(x), a为晶格 常数。[H,τ(a)]=0, τ(a)和H可同时对角化. ◼ 在H和τ(a)的共同本征矢中，由于τ幺正而非厄米，τ的 期待值为复数且模为1。 ◼ 为求出τ(a)的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时 电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为|n>, H|n>=E0|n>, n表示格点位置, 不同|n>简并。 ◼ 虽然|n>是H的本征态,且H与τ(a)对易，|n>不是τ(a)的 本征态。将不同|n>线性叠加,可得到τ(a)的本征态: , in n e n       =− = −       E0 n E0 H e n in =  = ( ) 1 , H ( ) in i n a e n e a        − = + =  是 和 的共同本征态

Bloch定理有限高势垒时，In>并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减以|n>为基构造0>，0>仍为本征值为e-io的本征态由于之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘：W(x)= eik"ur(x),uk(x'+a)=uk(x)且k=%=-","/」，k空间范围称为(第一)Brllouin Zone

◼ 有限高势垒时，|n>并不完全局域于格点n，而是主要集中 于格点n而随与n的距离而衰减。 ◼ 以|n>为基构造|θ>，|θ>仍为本征值为e -iθ的本征态 ◼ 由于 ◼ 设 ，有 ◼ 取k=θ/a，则 ◼ 可见晶格平移算符的本征态|θ>之波函数可写成平面波与 具有晶格周期性的函数之乘： ◼ ◼ 且 ，k空间范围称为(第一)Brillouin Zone u ( a) u ( ) k k x  − = x  Bloch定理 ( ) ( ), ikx k k  x e u x    = u ( a) u ( ) k k x  + = x  k , a a a =  −        ' ( ') ' x e u x k ikx  =      i x a x a x e − ' ( ) = '− = ' ' ( ' ) ( ' ) x a e uk x a ik x a − = − − 

能量本征值H|0)=Zein° H|n)=ZLeine |n')(n'|H|n)n,nnNLein'eLei(n-n)0 (n'|H|n)[n)Z2n'nein'oZ[n')ZCeine (n'|Hn+n')n'nZein'o[n')(O|t(-n'a)Ht(n'a)|n)endn'nin'Z[n')Zein(0|H|n) =(eimg (0|H|n))|0)e"二n'nn可见不同k=0/α的态能量本征值不同

能量本征值 ◼ 可见不同k=θ/a的态能量本征值不同. , ( ) 0 ( ) ( ) 0 { 0 } in in n n n in i n n n n in in n n in in n n in in in n n n H e H n e n n H n e n e n H n e n e n H n n e n e n a H n a n e n e H n e H n                   −        = =   =   = +    = −    = =            

(eimo (0|H|n))能量本征值n紧束缚近似:=Eo(0|H|±1) = -△, (0|H|n(|n| >1))= 0Ek=einka(0|H|n)=E-2△coskah原来简并的能级被消简并，形成能量范围为Eo-2△到E.+2△的能带。非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交又→金属、绝缘体、半导体

能量本征值 ◼ 紧束缚近似: =E0 , ◼ 原来简并的能级被消简并，形成能量范围为 E0 -2Δ到 E0+2Δ的能带。 ◼ 非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些 ◼ 多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交叉 ◼ →金属、绝缘体、半导体 0 1 , 0 ( 1) 0 H H n n  = −  = { 0 } in n e H n   E e H n E k a n inka k 0 2 cos = = 0 − 

84.4时间反演分立对称性、牛顿力学的时间反演变换经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图d'x(t)=-VV(x(t)mAtt=odt?ReverseStopplo(a)(b)若x(t)是牛顿方程的解，令t'=-t,有d'x(-t)d'x(-t)-vV(x(-t)mmdt?d(-t)?x(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:x→>x,dx/dt→>-dx/dt)可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转

§4.4 时间反演分立对称性 一、牛顿力学的时间反演变换 ◼ 经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图 ◼ 若x(t)是牛顿方程的解，令t’=-t,有 ◼ x(-t)也是牛顿方程的解 (时间反演:x→x,dx/dt→-dx/dt) ◼ 可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。 ( ( )) ( ) 2 2 V x t dt d x t m   = − 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ) d x t d x t m m V x t d t dt − − = = − − −

二、电动力学的时间反演变换1 aB1E4mjVXEMaxwell方程：·E= 4πp，xBc atc atcLorentz力:F=e|E+-(vxB)对t>-t变换,若E→E,B→-B,j→-j,p→p,V→-V则Maxwell方程和Lorentz力形式不变即若[E(t),B(t),i(t),p(t)]是解,则[E(-t),-B(-t),-j(-t), p(-t) 也是解1上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：t>-t, x>x, v>-v(p>-p)p→ p, E→>E,j→>-, B→>-B

二、电动力学的时间反演变换 ◼ Maxwell方程： ◼ Lorentz力： ◼ 对t→-t变换,若 ◼ 则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。 ◼ 即若 ◼ 上述讨论表明，经典物理中的时间变换为： ◼ t→-t， x→x, v→-v (p→-p), ◼ ρ→ ρ, E→E, j→-j, B→-B 1 F e E v B ( ) c   = +      [ ( ), ( ), ( ), (t)] ( ), ( ), ( ), ( t) E t B t j t E t B t j t    − − − − − −    是解， 则 也是解

三、薛定方程的时间反演变换h2Oy(x,t)V? +V(x))y(x,t) ,对薛定谔方程，at2mh?ay(x,-t)v? +V(x)y(x,-t)-ih作时间反演：at2m可见中(x,-t)与中(x,t)满足不同的方程ay*(x,-t)对上式取复共轭，得：it=Hy*(x,-t)at可见对解中(x,t)，有相应解中*(x,-t)因()=，时间反演波函数由*给出

三、薛定谔方程的时间反演变换 ◼ 对薛定谔方程， ， ◼ 作时间反演： ◼ 可见Ψ(x,-t)与Ψ(x,t)满足不同的方程 ◼ 对上式取复共轭，得： ◼ 可见对解Ψ(x,t) ，有相应解Ψ*(x,-t) ◼ 因Ψ(x) =，时间反演波函数由*给出 *( , H *( , x t i x t t    − = −  ） ） 2 2 ( , ) ( ( )) ( , ) 2 x t i V x x t t m    = −  +  2 2 ( , ) ( ( )) ( , ) 2 x t i V x x t t m    − − = −  + − 

四、反幺正算符若一对称操作使[α)→α),β)→β），从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征对时间反演,波函数变为复共轭,应有(βα)=(β|α)*=(α|β)定义：对变换 :|α)=α)β)=β),如果(βα)=(β[α)*; 0(c[α)+C2|β))=c *0[α)+C, *0[β))称0为反幺正算符后一式所定义的算符称为反线性算符

四、反幺正算符 ◼ 若一对称操作使 ，从前遇到的情况为 内积不变，相应对称操作以幺正算符表征 ◼ 对时间反演,波函数变为复共轭,应有 ◼ 定义：对变换 ,如果 ◼ 称θ为反幺正算符 ◼ 后一式所定义的算符称为反线性算符。     → → ,   =   * =   ~ ~   =    =   ~ , ~ :     = *; 1 2 1 2        ( ) * * ), c c c c + = +

一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即Kcα)=c*K|α).若α)为基矢，则Kα)=α若lα>不是基矢,可展开为以α>为基矢的矢量：[α)=ZCa[a'),则K|α)=ZC[a")K的作用效果依赖于基失的选取（故U也必与基失选取有关e是反幺正的说明(c[α)+c2|β))=c *UK|α)+c, *UK|β)，>是反线性的[α)=0α)=Z(a'|α)*UK|a")=(α|a")U|a'"),《β|=Z(a'|β)(a'|Uaaa《βα)=ZZ(a"|β)(a"|U*U|a")<α|a")=(β|α)*→日是反么正的

◼ 一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为 复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即 ◼ ◼ 若|α>不是基矢,可展开为以|a’>为基矢的矢量: ◼ K的作用效果依赖于基矢的选取（故U也必与基矢选取有关） ◼ θ是反幺正的说明： ◼ →θ是反线性的 ◼ → θ是反幺正的 Kc c K K      = = * .若 为基矢，则 *     ,则K   = =     a a a a C a C a 1 2 1 2      ( ) *UK *UK , c c c c + = + ' ' ' *UK ' ' U ' , a a      = = =   a a a a ' ' ' U a   a a + =  ' " " " U U ' ' * a a       a a a a + =  =  

五、时间反演算符?时间反演态（运动反演态）：α>如由上面讨论知，动量本征态p>的时间反演态：@lp>=I-p>时间反演算符的基本性质假设态矢具有时间反演对称性：iH8)0[a)=0(1-(-8)1a)h得：-iH?=?iH，?应为反么幺正算符>HO=OH

五、时间反演算符Θ ◼ 时间反演态（运动反演态）： Θ |α> ◼ 如由上面讨论知，动量本征态|p>的时间反演态: ◼ Θ|p>=|-p> ◼ 时间反演算符的基本性质 ◼ 假设态矢具有时间反演对称性： ◼ ◼ 得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符 ◼ →HΘ=ΘH