《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 基本概念 1.3 基矢和矩阵表示 1.4 测量与观测量 1.5 基矢的改变

回顾1.1 SG 实验空间量子化：角动量的不同分量不能同时确定光波类比/态用抽象矢量空间的矢量描述：复矢量空间1.2量空间矢量空间、内积、希尔伯特空间、维数、（正交）基矢、左右矢、对偶、（线性）算符算符：Xα)=|),<β|Y=(x(1) X+(Y+Z)=(X+Y)+Z=(Y+X)+Z=X+Y+Z;(2)X(c|α)+C|β))=CXα)+CX|β）(线性算符)(3）结合公理：X（YZ)=（XY)Z=XYZ（对所有合法运算，如Z可为右失）厄米算符：X=X(4）Xα)DC(αX+(厄米共轭);外积：X=α)β是算符，X+=|β)(α|;<β|Y|α)=(αY+|β)本征矢：Xα")=α'|α",Xα")=α"|α")

算符： 本征矢： 1 +(Y+Z)=(X+Y)+Z=(Y+X)+Z=X+Y+Z; (2) X(c )=c ( ) 3 X ( ) X X c X c X DC X X               + + + + = X = , Y= （） 线性算符 （ ）结合公理：X(YZ)=(XY)Z=XYZ (对所有合法运算,如Z可为右矢) （4） 厄米共轭 ； 厄米算符： *         X ; = 外积： + + X= 是算符， = Y Y X X       ' ' ' , '' '' '' ,. = = 回顾 1.1 SG 实验 空间量子化；角动量的不同分量不能同时确定 光波类比/态用抽象矢量空间的矢量描述：复矢量空间 1.2 矢量空间 矢量空间、内积、希尔伯特空间、维数、（正交）基矢、左右矢、对偶、 （线性）算符

S1.3基和矩阵表示1）厄米算符(A)的本征值是实数，属于不同本征值的本征矢正交。物理观测量←A，态矢空间：A的归一化本征矢为基失[α)-ca)-a)(aα)=>完备性关系：Z|a)(α|=1=Z△(投影算符)a2）矩阵表示(a(xa")(a(|x|a(2))算符：(a(2) |xa(")《a(2)|x|a(2))x-ZZaaxaa|; X=本征表象：对角矩阵厄米共轭

§ 1.3 基矢和矩阵表示 1）厄米算符(A)的本征值是实数，属于不同本征值的本征 矢正交。 • 物理观测量A, 态矢空间：A的归一化本征矢为基矢 2）矩阵表示 • 算符： 本征表象：对角矩阵 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' = 1= ( ) a a a a a a c a a a a a   = =      = 完备性关系： 投影算符 ' '' (1) (1) (1) (2) '' '' ' ' (2) (1) (2) (2) . ; . . . . . a a a a a a a a a a a a a a                   X X X= X X X X 厄米共轭

3）态的矩阵表示[α)=Za)(a|α),(β|=(β[a)a0(a(|α)(a(2) |α)(β|=(《β|a(")《β|a(2)）《β|a(3))...α)=(α(3)α)算符间（XY）、态矢间（<βα））、算符和态矢间(Xα)，<βY）的运算与其矩阵表示间的矩阵运算对应例：自旋1/2体系

3）态矢的矩阵表示 算符间（XY）、态矢间（ ）、算符和态矢间 （ ）的运算与其矩阵表示间的矩阵运算对应 例：自旋1/2体系 ( ) ' ' ' ' ' ' (1) (2) (1) (2) (3) (3) , . . . a a a a a a a a a a a a             = =                     ;   X Y  

S1.4测量与观测量1）测量：测量总是导致系统跳到被测量的动力学变量的一个本征态上。测量通常改变态矢(选择/过滤），除非原为测量量本征态[α)=Zcla)-Z[a)(a|α)=>[a) (概率为[<a|α)[)期望值（测量平均值）<A)=a<aα)=(α|A|α)02） SG实验对Si(i=x,y,z)的确定云l+)±-I-);S,=[+-+(I-+II+)+1-);S,={-i(+)《-D+{-+[S;+)1+)+e"[-)

§ 1.4 测量与观测量 1）测量：测量总是导致系统跳到被测量的动力学变量的一个 本征态上。 • 测量通常改变态矢(选择/过滤)，除非原为测量量本征态 2）SG实验对Si (i=x,y,z)的确定 ' ' ' ' 2 ' ' ' ' ' 2 ' ' = = (概率为 ) 期望值（测量平均值）       = = =    a a a a c a a a a a A a a A 1 2 1 1 1 1 ; ; [( ) ( )] 2 2 2 2 2 1 1 1 ; ; [ ( ) ( )] 2 2 2 2 2 i x x i y y S e S i S e S i i    +  − +  − = + − + − +  +  − +  − = − + − + − + = = = =

3）兼容观测量：[A,B]=0若A和B对易且A无兼并，则B在A表象为对角矩阵aa·简并情形：需独立对易观测量的最大集组成集合指标K表征态[K)=|a,b,c..),(K|K")=8kx =ab".aaZK)K|=Za,b,.c.. ai,b,.c.| =1KK'={abc...]兼容观测量的测量介入不影响测量结果（B的介入不影响A的测量结果）

3）兼容观测量：[A,B]=0 若A和B对易且A无兼并，则B在A表象为对角矩阵 • 简并情形：需独立对易观测量的最大集组成集合指标K表 征态 • 兼容观测量的测量介入不影响测量结果（B的介入不影响 A的测量结果） ' '' ' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' {a b c .} , , ,. , , , ,. , , ,. 1 K K a a b b K K K a b c K K K K a b c a b c    = = =    = = = ' '' '' ' ' ' a a a B a = a B a 

4）不兼容观测量：「A,B]≠0A和B没有一组完备的共同本征矢不兼容观测量的测量介入可能会产生不可恢复的影响（1） SG实验;(2)[a)到c),概率Kc [a)["=Z(c|b)(b |ai)=ZZ[=E(c|b)(b|a)(ai [b")(b'|c)两者概率一般不同

4）不兼容观测量：[A,B] ≠ 0 A和B没有一组完备的共同本征矢 • 不兼容观测量的测量介入可能会产生不可恢复的影响 • （1）SG实验； • （2） 两者概率一般不同 ' ' '' ' ' 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' '' ' , c b b b a c a c b b a c b b a a b b c = =   到 概率 ' ' ' ' ' ' 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , = b b a b c b   b a c b c b b a a b b c 到 再到 并对 完备求和，概率

5）测不准关系：((△A))((△B))≥K[A,BI)P,其中△A = A-(A)(1)Schwarz不等式:(α|α)(β|β)≥<α|β)l(2)厄米算符的期望值为纯实数，反厄米算符的期望值为纯虚数

5）测不准关系： 2 2 2 1 A B [ , ] , A A- 4 （     ） （ ） A B A 其中 2 (1)Schwarz 2) 不等式：       ( 厄米算符的期望值为纯实数，反厄米算符的期望值为纯虚数

1.5 基矢的改变1）变换算符：幺正变换[6() =U|a();UU+ =U+U =1(a(k) Ua())2）变换矩阵相似变换、迹下 X'=U+XU:tr(X)=(a |Xa)a3）对角化S0)C()Bu1B2Br3福B[6b ) = b [6 )CCoB,B22B21= b(i)det(B- )= 0A～ A =UAU-14）幺正等价观测量

1.5 基矢的改变 1）变换算符：幺正变换 2）变换矩阵 相似变换、迹 3）对角化 4）幺正等价观测量 ; UU 1 ( ) ( ) = = = + + b U a U U i i (k ) (l) a U a ' ' ' ' X U XU; tr(X) a X a a = = + ' 1 ~ − A A =UAU               =                             : : : : : : : : : : . . ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 i i i i i C C b C C B B B B B B det( ) 0 ' ' ' − = = B I B b b b 

作业：1.2/1.5/1.6/1.7/1.8/1.13

作业：1.2/1.5/1.6/1.7/1.8/1.13