《物理学中的数学方法》PDF电子书

目录 第一章矢量与张量分析 §1矢量代数……………………………………………………1 §2张量代数……………………………… §3二阶张量的几何表示法…41 §4张量场……………………………………………………24 §5高斯-奥斯特洛格拉德斯基定理及其应用…………………29 §6斯托克斯定理及其应用…………………… §7亥姆霍兹定理。麦克斯韦方程……… 46 §8曲线坐标系中的基本微分运算………… 55 第二章n维空间中的线性代数 1线性空间…………………… …………………………61 §2矩阵及其运算………………………………………………6: 线性算子………………………………………………77 坐标变换… 5数量积和正交性…………………………………………87 §6酉变换与正交变换 ………92 §7狭义相对论………………………… 96 §8埃尔米特算子 ……………:102 第三章按正变函数系展开 §1希尔伯特空间… ········ …………107 §2函数系的完备性… §3完备正交系的例子,富里埃级数 鲁非·非.申 119 §4富里埃积分……………………………………129 §5埃尔米特算子 ………………135 §6勒让德多项式…………………………………141 87多极展开式… ………………………148 §8球谐函数… d·节乱看·;;;,···· 154

§9坐标轴旋转时球谐函数的变换…………………………166 §10球谐函数与张量之间的类比…… 168 §11球谐函数的性质。续………………… §12动量矩算子分量的排列关系… 173 §13球谐函数与勒让德多项式之间的联系 §14加法定理 180 §15球谐函数的应用… 186 第四章变分原理与极值定理 §1泛函变分与泛函导数 ………………188 §2泛函λ(q)的极值性质…………………………………192 §3极值定理…… ………197 §4正算子……………………………………………………202 第五章格林函数方法 81方程例子格林函数的定义… 206 §2线性算子线性算子性质的矩阵表示………………211 §3扩散方程的格林函数…220 §4波动方程的格林函数………………………………225 §5泊松方程………… …230 §6非齐次波动方程……………………… 第六章复变函数论方法 §1解析函数柯西定理 242 §2泰勒和罗朗级数解析开拓 249 §3奇点分类……………………… §4多值函数流体力学中的例子……………………255 §5留数定理及其应用… §6随机游动问题与鞍点法…………………………268 第七章线性微分方程 §1在正常点附近方程的解……28 §2在正则奇点附近方程的解…… 288 §3贝塞耳方程……… .·····

第一章矢量与张量分析 §1矢量代数 设(x1,x2,xs)为三维空间中的点P在右旋笛卡尔坐标 系中的坐标(图1)。 这些坐标唯一地确 x2《z丿 定了点P在空间中 的位置: P(x1,x2,x) P:( 设(x1 为同一个点在另 x2(y) 个右旋笛卡尔坐标 系中的坐标。则该 点在两个不同的坐 标系中的坐标由下 式联系: 11x1+112x2+18x3y xz=121x1+22x2+23x3 4s1x1+u32x2+ 2 式(11)可更紧凑地写成:

(i=1,2,3 显然,此时数u;需服从下面的关系式: 1若j=k t;;l4 若jk 〔,;称为克罗内克( Kronecker)符号〕 于是 a2:+u21+u3:=1 u1112+t21422+u3tu32=0 等等 由三个数组成的有序集合(A1,A2,A3),在轴的旋转 下能作象上述的点P的坐标(x1,x2,x3)一样的变换,即 (A1,A2,A3)→>(A1,A2,A3) 则(A1,A2,A3)就叫做三维矢量,这里 Ai ; 而u1为(x1,x2,x3)变到(xi,x2,x)时由(1·1)所确定 的系数 今考虑几个矢量的例子。空间中的点P(x1,x2,x3)可 与具有同样坐标的矢量T相对应,这个矢量常称为尸点的径 矢。如果矢量r依赖于某个变量t,则我们可构成(dx1dt dx2/dt,dx3/dt),容易验证,它也是矢量。这个失量常记 为U=dT/dt。类似地,可构造矢量a=dv/af。一般地, 如有某个坐标依赖于参数的矢量,则通过对原先的矢量按坐 标微商可构造一新的矢量。用这种方法得到的矢量,就称为

所给矢量的导数 两个矢量A和B,只要在同一个坐标系中的对应坐标完 全相同,就认为是相等的。显然,如果两个矢量在某一个坐 标系中的坐标完全相同,那么它们在另外任意一个系中也完 全相同。 矢量 A+B=(A1+B1,A2+B2,A3+B3) 称为两矢量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)的和。 容易检验,用这种方法得到的量确是一矢量,且 A+B=B+A 例1矢量相等的几何解释。设A为某个矢量,而 T,T。分别为点P和Q的径矢。选取这样一些点,使得 1 P A2=x2P-x20, Ag=xsP 于是A=P(图3)。由此,任一矢量都可对应于某个线段y 换句话说,所有矢量在空间中都有方向和大小这种特性。 r 图

数 A·B 4 B 称为两矢量A和B的数量积A·B。数量积是关于坐标系旋 转的不变量。事实上,利用公式(1.1)得 24 A;;1B1= A:B 64.B=21,B 在坐标系作转动时不变的量,叫做标量。于是A·B是 标量。显然,A·A=∑A。数(A.A)2称为矢量A的 模(或长度),并记之为|A|。特别是,如果A=T,则 1A|=|yi=√x2+x2+x 今选取坐标系,使得轴x1顺着矢量A的方向,而矢量 B则在平面x1x2内(图4),于是 A=(A,0,0) B=(B cos 0, B sin 0, 0) A·B=|A||B|cosθ, 这里θ是矢量A和B之间的夹 角。因A·B是标量,故这个 等式在任意坐标系中都仍适 合。特别地,如果A·B=0 且A和B都不为零,则矢量 A和B垂直

例2能量守恒。由牛顿第二定律 F=ma=mdv d (1.3) 这里m为物体质量,F为作用于该物体上的力,U为速度。 在等式(1.3)两边点乘,则得 dυ F·=mdt du dt 2 即 F· 这里v为矢量v的模。特别,如果F=0,则 2 0,即 7 = const 2 这是能量守恒定律的一种形式。 定理1·1假定有一个法则,使在每一坐标系中都能给 出三个数(A1,A2,A3),如果此法则对所有矢量B= (B1,B2,B3),都能使量∑AB;为标量,则量A=(A1, A2,A3)为矢量。 证明在坐标系转动下,矢量B的坐标按公式(12)变 成 B;=∑";B;(i=1,2,3) 设在转动时,(A1,A2,A3)变成(Ai1,A2,A3)

我们需证 A;=∑u;A;(i=1,2,3) 但由假设 AB=∑AB 所以 2AB,=SA:习u,B,=(;4)B 因矢量B是任意给定的,故 l4;AH;(j=1,2,3) 将(1.4)乘以u;且对j求和,考虑到(1.2),就得 2,21;,A A 14;;h; 6;kx=A;(i=1,2,3), 这就是所要证明的。 现考虑某个直角坐标系。设=(1,0,0),J=(0,1,0) k=(0,0,1)为此坐标系中的三个单位矢量。则 元·=jj=k·k=1, j=j·k=k 这些关系显示了单位矢量之间是相互垂直的。在这个坐标系 中,矢量A=(A1,A2,A3)可表示为 A=A1i+A2i+Ask (1.5)

将坐标轴旋转。原坐标系中的单位矢量在新坐标系中的 坐标为 31 t12,u22;a32), k:( 假定=(1,0,0),=(0,1,0),k=(0,0,1) 是新坐标系(x1,x2,x3)中的单位矢量。则由(12)和(1.5 式 i=u1i'+ua21j'+u3,k' =t4 12j′+t32k′, k=u13i'+u23j'+u33k 显然·=1,·=0等等。因此 ·L=u21+u2+u3 ·j=u112+u212+u31l32=0 我们又得到了(1.1),并顺便说明了它们的起源。注意, 由前面的结论从(1.4)式可推出,新坐标系中的单位矢量可 用下面的方式由原坐标系中的单位矢量表出 i=u1+u123j+u13k j'=u21i+u223+u2 3k k 它+u32j+"sk 有两个矢量A和B,若置 A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3, aB-4.B 则可构造第三个矢量。下面将验证,A×B确是矢量。为 7

此,利用定理1.1。即要证明,对所有矢量C,(AxB)·C 是标量。容易验证, A1 A2, A (AxB)·C=B,B2B C, C, C 位于(18)式右边的行列式,等于由矢量A,B和C所构成的 平行六面体的体积。显然,体积关于旋转是不变的。而这对 任一矢量C都是正确的,故由 AxB 定理(1.1)知,AxB确实是 矢量。这个矢量称为矢量A和 B的矢量积。 现在来确定矢量A×B的 方向和大小。为此目的,我们 选取坐标轴,使得矢量A顺 着的方向,而矢量B位于订 图5。 平面内(图5)。于是在此坐标 系内 A=(A,0,0 B=(Bcos6,Bsinθ,0), A×B=(0,0,|A||B|sin6), 6=文(A,B)=A和B之间的夹角。 因此 1AxB|=|A||Bl|sinθl 矢量A和B与量A×B垂直。矢量A,B和A×B构成右 旋三矢量。易知,如果矢量A与B平行,则A×B=0;而