浙江大学：《数学建模概论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 初等模型（2.10）π的计算

S210T的计算 圆周率是人类获得的最古老的数学概念 之一,早在大约3700年前(即公元前 1700年左右)的古埃及人就已经在用 256/81(约31605)作为π的近似值了 几千年来,人们一直没有停止过求π的努力

➢ 圆周率是人类获得的最古老的数学概念 之一，早在大约3700年前（即公元前 1700年左右）的古埃及人就已经在 用 256/81（约3.1605）作为π的近似值了。 几千年来，人们一直没有停止过求π的努力 。 §2.10 π的计算

回古典方法 回分析方法 回其它方法 >概率方法 >数值积分方法

古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法 ➢ 概率方法 ➢ 数值积分方法

古典方法 用什么方法来计算π的近似值呢?显然,不可能仅根 据圆周率的定义,用圆的周长去除以直径。起先,人们 采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近 的古典方法。 6边形 12边形 24边形

古典方法 用什么方法来计 算π的近似值呢？显然，不可能仅根 据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们 采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近 的古典方法。 6边形 12边形 24边形 圆

阿基米德曾用圆内接96边形和圆外切 96边形夹逼的方法证明了 223 22 由sinb<b<tan日 <兀 71 7 和=n/出 公元5世纪,祖冲之指出 3.1415926<丌<3.1415927 比西方得到同样结 果几乎早了100年

➢ 阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切 96边形夹逼的方法证明了 7 22 71 223    由 和 导出 sin   tan  =  96 ➢ 公元5世纪，祖冲之指出 3.1415926    3.1415927 比西方得到同样结 果几乎早了1000年

十五世纪中叶,阿尔卡西给出π的16位 小数,打破了祖冲之的纪录 >1579年韦达证明 3.14159265351630年最后一位用古典方法求π的人格 林伯格也只求到了π的第39位小数

➢ 十五世纪中叶，阿尔·卡西给出π的16位 小数，打破了祖冲之的纪录 ➢ 1579年,韦达证明 3.1415926535   3.1415926537 ➢ 1630年,最后一位用古典方法求π的人格 林伯格也只求到了π的第39位小数

分析方法 从十七世纪中叶起,人们开始用更先进的 分析方法来求π的近似值,其中应用的主 要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数,在 本节中我们将介绍一些用此类方法求π近 似值的实例

分析方法 从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的 分析方法来求π的近似值，其中应用的主 要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在 本节中我们将介绍一些用此类方法求π近 似值的实例

>1656年,沃里斯(Wais证明 44 e 2k 2 2 2k-12k+1 取k=10 z≈).(22 2020 3.067702 13八(35 192l 取k=20 元≈ 2(3(3(3,#) 3.103516

3.067702 21 20 19 20 5 4 3 4 3 2 1 2 2  =                         3.103516 4 1 4 0 3 9 4 0 5 4 3 4 3 2 1 2 2  =                         取 k = 20 取 k = 10 ➢ 1656年，沃里斯(Wallis)证明   =       +  − =                      =   1 2 1 2 2 1 2 2 7 6 5 6 5 4 3 4 3 2 1 2 2 k k k k k  

>在微积分中我们学过泰勒级数,其中有 3 X 5 2k+1 arctan=x ∑(-1) k x 35 2k+1 =0 x∈ Q 当x=1 元 1-二 ∑←1) 2k+1 =0

➢ 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有 2 1 ( 1) 3 5 arctan 2 1 0 3 5 + = − + − = −  + =  k x x x x x k k  k x(− , +) 当 x = 1 2 1 1 ( 1) 5 1 3 1 1 4 0 + = − + − = −  = k k   k

取k=10 丌≈41--+ =3.232316 35 1921 取k=20 丌≈41-+ 十 3.189184 35 3941

取 k = 20 3.189184 4 11 3 91 51 31 4 1  =     − + −  − + 取 k = 10 3.232316 2 11 1 91 51 31 4 1  =     − + −  − +

>在中学数学中证明过下面的等式 =arctan 1= arctan -+arctan 4 2 3 左边三个正方形 组成的矩形中 arctan和arct展由∠A=∠B+和c 开式的收敛速度都比可得C=∠D 快得多 rotan1

➢ 在中学数学中证明过下面的等式 3 1 arctan 2 1 arctan 1 arctan 4 = = +  左边三个正方形 组成的矩形中， 由 和 可得 A = B+ C C = D 和 的展 开式的收敛速度都比 快得多 2 1 arctanarctan1 3 1 arctan A C B D